今年3月5日，國務院總理李克強作的政府工作報告中，提到要“懲戒學術不端，力戒學術不端，力戒浮躁之風”．教育部日前公布的《教育部2019年部門預算》中透露，2019年教育部擬抽檢博士學位論文約6000篇，預算為800萬元．國務院學位委員會、教育部2014年印發的《博士碩士學位論文抽檢辦法》通知中規定：每篇抽檢的學位論文送3位同行專家進行評議，3位專家中有2位以上（含2位）專家評議意見為“不合格”的學位論文，將認定為“存在問題學位論文”．有且只有1位專家評議意見為“不合格”的學位論文，將再送2位同行專家進得復評，2位復評專家中有1位以上（含1位）專家評議意見為“不合格”的學位論文，將認定為“存在問題學位論文”．設每篇學位論文被每位專家評議為“不合格”的概率均為p（0＜p＜1），且各篇學位論文是否被評議為“不合格”相互獨立．
（1）記一篇抽檢的學位論文被認定為“存在問題學位論文”的概率為f（p），求f（p）；
（2）若擬定每篇抽檢論文不需要復評的評審費用為900元，需要復評的評審費用為1500元；除評審費外，其它費用總計為100萬元．現以此方案實施，且抽檢論文為6000篇，問是否會超過預算？并說明理由．
【考點】離散型隨機變量的均值（數學期望）．
【答案】（1）f（p）=-3p5+12p4-17p3+9p2．
（2）不會；
設每篇學位論文的評審費為X元，則X的可能取值為900，1500．
P（X=1500）=Cp（1-p）2，P（X=900）=1-Cp（1-p）2，
所以E（X）=900×[1-Cp（1-p）2]+1500×Cp（1-p）2=900+1800p（1-p）2
令，g（p）=p（1-p）2，p∈（0，1）
．g′（p）=（1-p）2-2p（1-p）=（3p-1）（p-1）
當p∈（0，）時，g′（p）＞0，g（p）在（0，）單調遞增，
當p∈（，1）時，g′（p）＜0，g（p）在（，1）單調遞減，
所以g（p）的最大值為g（）=．
所以實施此方案，最高費用為100+6000×）×10-4=800（萬元）．
綜上，若以此方案實施，不會超過預算．
（2）不會；
設每篇學位論文的評審費為X元，則X的可能取值為900，1500．
P（X=1500）=C
1
3
1
3
所以E（X）=900×[1-C
1
3
1
3
令，g（p）=p（1-p）2，p∈（0，1）
．g′（p）=（1-p）2-2p（1-p）=（3p-1）（p-1）
當p∈（0，
1
3
1
3
當p∈（
1
3
1
3
所以g（p）的最大值為g（
1
3
4
27
所以實施此方案，最高費用為100+6000×
（
900
+
1800
×
4
27
綜上，若以此方案實施，不會超過預算．
【解答】
【點評】
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發布：2024/6/27 10:35:59組卷：182引用：4難度：0.5
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