人類對未知事物的好奇和科學家們的不懈努力，使人類對宇宙的認識越來越豐富。
（1）開普勒行星運動第三定律指出：行星繞太陽運動的橢圓軌道的半長軸a的三次方與它的公轉周期T的二次方成正比，即

a

3

T

2

=

k

，k是一個常量。已知太陽的質量為M。將行星繞太陽的運動按圓周運動處理，請你推導太陽系中該常量k的表達式，并說明影響常量k的因素。
（2）已知地球質量為M₀，萬有引力常量為G，將地球視為半徑為R、質量均勻分布的球體，忽略地球自轉的影響，
a.求地球的第一宇宙速度v。
b.北京時間2019年4月10日21時，由全球200多位科學家合作得到的人類首張黑洞照片面世，引起眾多天文愛好者的興趣。
查閱相關資料后知道：①黑洞具有非常強的引力，即使以3×10⁸m/s的速度傳播的光也不能從它的表面逃逸出去。②地球的逃逸速度是第一宇宙速度的

2

倍，這個關系對于其他天體也是正確的。③地球質量為6.00×10²⁴kg,引力常量G=6.67×10^-11N?m²/kg²。
請你根據以上信息，利用高中學過的知識，通過計算求出：假如地球變為黑洞，在質量不變的情況下，地球半徑的最大值（結果保留一位有效數字）。