在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y=ax2+2ax+c與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，點A的坐標為（2，0），點D（-3，52）在拋物線上．
（1）求拋物線的表達式；
（2）如圖①，點P在y軸上，且點P在點C的下方，若∠PDC=45°，求點P的坐標；
（3）如圖②，E為線段CD上的動點，射線OE與線段AD交于點M，與拋物線交于點N，求MNOM的最大值．
D
（
-
3
，
5
2
）
MN
OM
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
y
=
-
1
2
x
2
-
x
+
4
（2）
（
0
，
3
2
）
（3）
25
8
【解答】
【點評】
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發布：2025/5/24 9:30:2組卷：1692引用：11難度：0.1
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1．已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點B在x軸的正
半軸上，點C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OB＜OC）是方程x2-10x+16=0的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線x=-2．
（1）求A、B、C三點的坐標；
（2）求此拋物線的表達式；
（3）連接AC、BC，若點E是線段AB上的一個動點（與點A、點B不重合），過點E作EF∥AC交BC于點F，連接CE，設AE的長為m,△CEF的面積為S，求S與m之間的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（4）在（3）的基礎上試說明S是否存在最大值？若存在，請求出S的最大值，并求出此時點E的坐標，判斷此時△BCE的形狀；若不存在，請說明理由．發布：2025/5/28 2:30:1組卷：587引用：65難度：0.1 -
2．如圖，二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸只有一個公共點P，與y軸的交點為Q．過點Q的直線y=2x+m與x軸交于點A，與這個二次函數的圖象交于另一點B，若S△BPQ=3S△APQ，求這個二次函數的解析式．發布：2025/5/28 3:30:1組卷：266引用：5難度：0.1 -
3．已知拋物線y=x2+px+q上有一點M（x0，y0）位于x軸的下方．
（1）求證：拋物線必與x軸交于兩點A（x1，0）、B（x2，0），其中x1＜x2；
（2）求證：x1＜x0＜x2；
（3）當點M為（1，-1997）時，求整數x1、x2．發布：2025/5/28 2:0:5組卷：254難度：0.5