已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點為F，P點在拋物線上，且P的橫坐標為4，|PF|=5．
（1）求拋物線的方程；
（2）設l為過（4，0）點的任意一條直線，若l交拋物線于A，B兩點，求證：以AB為直徑的圓必過坐標原點．
【考點】拋物線的焦點與準線．
【答案】（1）y2=4x；
（2）證明：設直線l：x=my+4，A（x1，y1），B（x2，y2），
代入拋物線方程y2=4x，可得y2-4my-16=0，
判別式為16m2+64＞0恒成立，
y1+y2=4m，y1y2=-16，
x1x2=?=16，
即有x1x2+y1y2=0，
則⊥，
則以AB為直徑的圓必過坐標原點．
（2）證明：設直線l：x=my+4，A（x1，y1），B（x2，y2），
代入拋物線方程y2=4x，可得y2-4my-16=0，
判別式為16m2+64＞0恒成立，
y1+y2=4m，y1y2=-16，
x1x2=
y
1
2
4
y
2
2
4
即有x1x2+y1y2=0，
則
OA
OB
則以AB為直徑的圓必過坐標原點．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：296引用：6難度：0.5