2023-2024學年吉林省長春第二實驗中學九年級（上）競賽數學試卷（10月份）

一、單選題（每小題3分，共24分）

• 1．若二次根式

  x

  -

  2

  有意義，則x的取值范圍是（　　）

  A．x＜2

  B．x≠2

  C．x≤2

  D．x≥2
  組卷：1085引用：36難度：0.9

  解析

• 2．下列運算中錯誤的是（　　）

  A． 2 × 3 = 6

  B． 8 ÷ 2 = 2

  C． 2 + 3 = 5

  D． （ - 3 ） 2 = 3
  組卷：182引用：9難度：0.9

  解析

• 3．下列事件是必然事件的是（　　）

  A．經過有信號燈的十字路口，遇見紅燈

  B．從一副撲克中任意抽出一張是黑桃

  C．在一個三角形中，任意兩邊之和大于第三邊

  D．明天一定下雨
  組卷：424引用：10難度：0.8

  解析

• 4．如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東37°方向，距離燈塔40海里的A處，它沿正北方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的正東方向上的B處．這時，B處與燈塔P的距離BP的長可以表示為（　　）

  A．40海里	B．40tan37°海里
  C．40cos37°海里	D．40sin37°海里
  組卷：688引用：14難度：0.7

  解析

• 5．關于x的一元二次方程kx²+2x-1=0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是（　　）

  A．k＞-1

  B．k＞1

  C．k≠0

  D．k＞-1且k≠0
  組卷：575引用：117難度：0.9

  解析

• 6．在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，則tanA的值為（　　）

  A． 4 3

  B． 4 5

  C． 3 4

  D． 3 5
  組卷：32引用：5難度：0.9

  解析

• 7．如圖，在△ABC中，∠C=90°，D是AC上一點，DE⊥AB于點E，若AC=8，BC=6，DE=3，則AD的長為（　　）

  A．3

  B．4

  C．5

  D．6
  組卷：575引用：37難度：0.9

  解析

• 8．如圖，點P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個條件，不正確的是（　　）

  A．∠ABP=∠C

  B．∠APB=∠ABC

  C． AP AB = AB AC

  D． AB BP = AC CB
  組卷：16126引用：185難度：0.9

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三、解答題：

• 23．【感知】
  小明同學復習“相似三角形”的時候遇到了這樣的一道題目：
  

  如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC上一點，過點D作∠ADE=∠B，交AC于點E．求證：△ABD∽△DCE．

  小明同學分析后發現，∠ADC是△ABD的外角，可得∠ADE+∠EDC=∠BAD+∠B，再結合已知條件可以得到△ABD∽△DCE．請根據小明的分析，結合圖①，寫出完整的證明過程．
  【探究】
  在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，D為BC上一點．
  （1）如圖②，過點D作∠ADE=∠B，交AC于點E．當DE∥AB時，AD的長為

  ．
  （2）如圖③，過點D作∠FDE=∠B，分別交AB、AC于點F、E．當CD=4時，BF的長的取值范圍為

  ．
  
  組卷：346引用：5難度：0.3

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• 24．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，點Q在邊AC上，CQ=1，動點P從點A出發，沿射線AC運動，速度為每秒1個單位長度，當點P不與點Q重合時，以PQ為邊構造Rt△PQM，使∠PMQ=∠A，∠QPM=90°，且M與點B在直線AC的同側，設點P運動時間為t秒．
  （1）AB的長為

  ．
  （2）點M落在AB邊上時，求t的值；
  （3）當點P在線段AC上時，設△PQM與△ABC重合部分圖形的周長為l,求l與t之間的函數關系式．
  （4）當點M與△ABC的一個頂點（點C除外）連線所在的直線平分△ABC面積時，直接寫出t的值．
  組卷：178引用：2難度：0.1

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