2012-2013學年江蘇省蘇州市常熟實驗中學八年級（上）寒假數學作業

一、解答題（共19小題，滿分0分）

• 1．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．點P從點C出發沿CA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，到達點A后立刻以原來的速度沿AC返回；點Q從點A出發沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動．伴隨著P、Q的運動，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點D，交折線QB-BC-CP于點E．點P、Q同時出發，當點Q到達點B時停止運動，點P也隨之停止．設點P、Q運動的時間是t秒（t＞0）．
  （1）當t=2時，AP=

   

  ，點Q到AC的距離是

   

  ；
  （2）在點P從C向A運動的過程中，求△APQ的面積S與t的函數關系式；（不必寫出t的取值范圍）
  （3）在點E從B向C運動的過程中，四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，求t的值；若不能，請說明理由；
  （4）當DE經過點C時，請直接寫出t的值．
  組卷：714引用：42難度：0.1

  解析

• 2．如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點，過點E作EF∥BC交CD于點F．AB=4，BC=6，∠B=60度．
  （1）求點E到BC的距離；
  （2）點P為線段EF上的一個動點，過P作PM⊥EF交BC于點M，過M作MN∥AB交折線ADC于點N，連接PN，設EP=x.
  ①當點N在線段AD上時（如圖2），△PMN的形狀是否發生改變？若不變，求出△PMN的周長；若改變，請說明理由；
  ②當點N在線段DC上時（如圖3），是否存在點P，使△PMN為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請說明理由．
  
  組卷：258引用：44難度：0.1

  解析

• 3．如圖1，在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，四邊形ABCO是菱形，點A的坐標為（-3，4），點C在x軸的正半軸上，直線AC交y軸于點M，AB邊交y軸于點H．
  （1）求直線AC的解析式；
  （2）連接BM，如圖2，動點P從點A出發，沿折線ABC方向以2個單位/秒的速度向終點C勻速運動，設△PMB的面積為S（S≠0），點P的運動時間為t秒，求S與t之間的函數關系式（要求寫出自變量t的取值范圍）；
  （3）在（2）的條件下，當t為何值時，∠MPB與∠BCO互為余角，并求此時直線OP與直線AC所夾銳角的正切值．
  
  組卷：1040引用：23難度：0.1

  解析

• 4．一次函數y=ax+b的圖象分別與x軸、y軸交于點M，N，與反比例函數y=

  k

  x

  的圖象相交于點A，B．過點A分別作AC⊥x軸，AE⊥y軸，垂足分別為C，E；過點B分別作BF⊥x軸，BD⊥y軸，垂足分別為F，D，AC與BD交于點K，連接CD．
  （1）若點A，B在反比例函數y=

  k

  x

  的圖象的同一分支上，如圖1，試證明：
  ①S_{四邊形AEDK}=S_{四邊形CFBK}；②AN=BM．
  （2）若點A，B分別在反比例函數y=

  k

  x

  的圖象的不同分支上，如圖2，則AN與BM還相等嗎？試證明你的結論．
  
  組卷：1487引用：18難度：0.1

  解析

• 5．已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG．
  （1）求證：EG=CG；
  （2）將圖①中△BEF繞B點逆時針旋轉45°，如圖②所示，取DF中點G，連接EG，CG．問（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；
  （3）將圖①中△BEF繞B點旋轉任意角度，如圖③所示，再連接相應的線段，問（1）中的結論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結論（均不要求證明）．
  
  組卷：7524引用：103難度：0.1

  解析

• 6．在平面直角坐標系中，邊長為2的正方形OABC的兩頂點A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，點O在原點．現將正方形OABC繞O點順時針旋轉，當A點第一次落在直線y=x上時停止旋轉，旋轉過程中，AB邊交直線y=x于點M，BC邊交x軸于點N（如圖）．
  （1）求邊OA在旋轉過程中所掃過的面積；
  （2）旋轉過程中，當MN和AC平行時，求正方形OABC旋轉的度數；
  （3）設△MBN的周長為p,在旋轉正方形OABC的過程中，p值是否有變化？請證明你的結論．
  組卷：2220引用：46難度：0.1

  解析

一、解答題（共19小題，滿分0分）

• 18．問題解決：
  如圖（1），將正方形紙片ABCD折疊，使點B落在CD邊上一點E（不與點C，D重合），壓平后得到折痕MN．當

  CE

  CD

  =

  1

  2

  時，求

  AM

  BN

  的值．
  類比歸納：
  在圖（1）中，若

  CE

  CD

  =

  1

  3

  ，則

  AM

  BN

  的值等于

  ；若

  CE

  CD

  =

  1

  4

  ，則

  AM

  BN

  的值等于

  ；若

  CE

  CD

  =

  1

  n

  （n為整數），則

  AM

  BN

  的值等于

  ．（用含n的式子表示）
  聯系拓廣：
  如圖（2），將矩形紙片ABCD折疊，使點B落在CD邊上一點E（不與點C，D重合），壓平后得到折痕MN，設

  AB

  BC

  =

  1

  m

  （

  m

  ＞

  1

  ）

  ，

  CE

  CD

  =

  1

  n

  ，則

  AM

  BN

  的值等于

  ．（用含m,n的式子表示）
  
  組卷：1331引用：20難度：0.1

  解析

• 19．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm,CD=4cm,BC=BD=10cm,點P由B出發沿BD方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，線段EF由DC出發沿DA方向勻速運動，速度為1cm/s,交BD于Q，連接PE．若設運動時間為t（s）（0＜t＜5）．解答下列問題：
  （1）當t為何值時，PE∥AB；
  （2）設△PEQ的面積為y（cm²），求y與t之間的函數關系式；
  （3）是否存在某一時刻t,使S_△PEQ=

  2

  25

  S_△BCD？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由；
  （4）連接PF，在上述運動過程中，五邊形PFCDE的面積是否發生變化？說明理由．
  組卷：3287引用：42難度：0.1

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