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2023-2024學年北京十二中高二（上）期中數學試卷

發布：2024/10/18 20:0:1

一、選擇題.本題共12小題，每題5分，共60分.在每題給的四個選項中，只有一項符合題目要求.

1．直線y=-2x+1的一個方向向量是（　　）
A．（1，-2） B．（2，-1） C．（1，2） D．（2，1）
組卷：54引用：2難度：0.8
解析
2．以（1，2）為圓心且過原點的圓的方程為（　　）
A．（x-1）²+（y-2）²=
5
B．（x+1）²+（y+2）²=
5
C．（x-1）²+（y-2）²=5 D．（x+1）²+（y+2）²=5
組卷：140引用：1難度：0.8
解析
3．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E為上底面A₁C₁的中心，若
AE
=
A
A
1
+
x
AB
+
y
AD
，則x,y的值是（　　）
A．
x
=
1
2
，
y
=
1
2
B．x=1，
y
=
1
2
C．
x
=
1
2
，y=1 D．x=1，y=1
組卷：107引用：10難度：0.9
解析
4．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，設AD=AA₁=1，AB=2，則
B
D
1
?
AD
等于（　　）
A．1 B．2 C．3 D．
6
3
組卷：277引用：10難度：0.7
解析
5．“a=1”是“直線ax+（a-1）y-1=0與直線（a-1）x+ay+1=0垂直”的（　　）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
組卷：172引用：7難度：0.8
解析
6．下面結論正確的個數是（　　）
①已知
a
，
b
，
c
是不共面的三個向量，則
c
，
a
+
c
，
a
-
c
能構成空間的一個基底；
②任意向量
a
，
b
，
c
（
a
≠
0
）
滿足
a
?
b
=
a
?
c
，則
b
=
c
；
③已知向量
a
=
（
1
，
1
，
x
）
，
b
=
（
-
3
，
x
,
9
）
，若
a
與
b
共線，則x=-3．
A．3 B．2 C．1 D．0
組卷：110引用：2難度：0.7
解析
7．已知圓C的方程為（x-3）²+（y-4）²=1，過直線l：3x+4y-5=0上任意一點作圓C的切線，則切線長的最小值為（　　）
A．4 B．
15
C．
17
D．5
組卷：154引用：3難度：0.6
解析

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三、解答題.本題共5小題，共60分.

22．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是邊長為2的正三角形，側面ACC₁A₁是菱形，平面ACC₁A₁⊥平面ABC，E，F分別是棱A₁C₁，BC的中點，G是棱CC₁上靠近點C的三等分點．
（1）證明：EF∥平面ABB₁A₁；
（2）從①三棱錐C₁-ABC的體積為1；
②直線C₁C與底面ABC所成的角為60°；
③異面直線BB₁與AE所成的角為30°．
這三個條件中選擇一個作為已知．
（ⅰ）判斷點A是否在平面EFG內，并說明理由；
（ⅱ）求平面ACC₁與平面EFG夾角的余弦值．
組卷：165引用：1難度：0.3
解析
23．記集合Rⁿ={（x₁，x₂，?，x_n）|x_i∈R，i=1，2，?，n}（n≥2，n∈N），對于
A
（
a
1
，
a
2
，
?
，
a
n
）
∈
R
n
，
B
（
b
1
，
b
2
，
?
，
b
n
）
∈
R
n
，定義：
AB
=
（
b
1
-
a
1
，
b
2
-
a
2
，
?
，
b
n
-
a
n
）
為由點A，B確定的廣義向量，
d
（
AB
）
=
|
b
1
-
a
1
|
+
|
b
2
-
a
2
|
+
?
+
|
b
n
-
a
n
|
為廣義向量的絕對長度，
（1）已知A（1，2，-1，0）∈R⁴，B（0，2，2，1）∈R⁴，計算
d
（
AB
）
；
（2）設A，B，C∈Rⁿ，證明：
d
（
AC
）
+
d
（
CB
）
≥
d
（
AB
）
；
（3）對于給定A，B∈Rⁿ，若
P
（
p
1
，
p
2
，
?
，
p
n
）
∈
R
n
滿足
d
（
AP
）
+
d
（
PB
）
=
d
（
AB
）
且p_i∈Z（i=1，2，?，n），則稱P為Rⁿ中關于A，B的絕對共線整點，已知A（1，0，3），B（6，5，5）∈R³，
①R³中關于A，B的絕對共線整點的個數為_____；
②若從R³中關于A，B的絕對共線整點中任取m個，其中必存在4個點（x₁，y₁，z），（x₂，y₁，z），（x₃，y₂，z），（x₄，y₂，z）（x₁≠x₂≠x₃≠x₄，y₁≠y₂），滿足x₁+x₂=x₃+x₄，則m的最小值為_____．
組卷：64引用：5難度：0.3
解析