2022-2023學(xué)年上海師大附中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、填空題（本大題共12題，滿(mǎn)分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）

• 1．已知向量

  a

  =

  （

  -

  1

  ，

  2

  ）

  ，

  b

  =

  （

  x

  ,

  4

  ）

  ，且

  a

  ⊥

  b

  ，則x=

  ．
  組卷：33引用：2難度：0.8

  解析

• 2．已知等差數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n且滿(mǎn)足a₇+a₉=2，則S₁₅=

  ．
  組卷：123引用：1難度：0.8

  解析

• 3．設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（1+2i）z=5i,則|z|=

  ．
  組卷：116引用：5難度：0.7

  解析

• 4．函數(shù)

  y

  =

  f

  （

  x

  ）

  =

  sin

  2

  x

  ,

  x

  ∈

  [

  -

  π

  6

  ，

  π

  3

  ]

  的最大值為

  ．
  組卷：70引用：1難度：0.8

  解析

• 5．已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足

  a

  1

  =

  1

  ，

  a

  n

  +

  1

  =

  n

  n

  +

  1

  a

  n

  （

  n

  ∈

  N

  ，

  n

  ?

  1

  ）

  ，則a_n=

  ．
  組卷：151引用：3難度：0.5

  解析

• 6．最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的人應(yīng)是我國(guó)商朝數(shù)學(xué)家商高，根據(jù)文獻(xiàn)記載，商高曾經(jīng)和周公討論過(guò)“勾三股四弦五”的問(wèn)題，所以商高比畢達(dá)哥拉斯早500多年發(fā)現(xiàn)勾股定理．現(xiàn)有△ABC滿(mǎn)足“勾三股四弦五”，其中AB=4，D為弦BC上一點(diǎn)（不與B、C重合），且△ABD滿(mǎn)足“勾三股四弦五”，則

  AB

  ?

  AD

  =

  ．
  組卷：32引用：1難度：0.7

  解析

• 7．已知平面向量

  a

  ，

  b

  ，

  c

  滿(mǎn)足

  a

  +

  b

  +

  c

  =0，且|

  a

  |=|

  b

  |=|

  c

  |=1，則

  a

  ?

  b

  的值為

  ．
  組卷：209引用：4難度：0.7

  解析

三、解答題（本大題共5題）

• 20．公元263年，劉徽首創(chuàng)了用圓的內(nèi)接正多邊形的面積來(lái)逼近圓面積的方法，算得n值為3.14，我國(guó)稱(chēng)這種方法為割圓術(shù)，直到1200年后，西方人才找到了類(lèi)似的方法，后人為紀(jì)念劉徽的貢獻(xiàn)，將3.14稱(chēng)為徽率．我們作單位圓的外切和內(nèi)接正3×2ⁿ邊形（n=1，2，3??），記外切正3×2ⁿ邊形周長(zhǎng)的一半為a_n，內(nèi)接正3×2ⁿ邊形周長(zhǎng)的一半為b_n．通過(guò)計(jì)算容易得到：

  a

  n

  =

  3

  ×

  2

  n

  tan

  θ

  n

  （其中θ_n是正3×2ⁿ邊形的一條邊所對(duì)圓心角的一半）
  （1）求{b_n}的通項(xiàng)公式；
  （2）求證：對(duì)于任意正整數(shù)

  n

  ,

  1

  a

  n

  、

  1

  a

  n

  +

  1

  、

  1

  b

  n

  依次成等差數(shù)列；
  （3）試問(wèn)對(duì)任意正整數(shù)n,b_n、b_n+1、a_n+1是否能構(gòu)成等比數(shù)列？說(shuō)明你的理由．
  組卷：161引用：4難度：0.4

  解析

• 21．設(shè)A是由m×n個(gè)實(shí)數(shù)組成的m行n列的數(shù)表，如果某一行（或某一列）各數(shù)之和為負(fù)數(shù)，則改變改行（或該列）中所有數(shù)的符號(hào)，稱(chēng)為一次“共軛變形”．
  （1）數(shù)表A如表1所示．若經(jīng)過(guò)兩次“共軛變形”，使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)實(shí)數(shù)，請(qǐng)寫(xiě)出每次“共軛變形”后得到的數(shù)表（寫(xiě)出一種方法即可）；
  表1
  

  1	2	3	-7
  -2	1	0	1

  （2）數(shù)表A如表2所示．若必須經(jīng)過(guò)兩次“共軛變形”，才可使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)整數(shù)，求整數(shù)a的所有可能值；
  表2
  

  a	a2-1	-a	-a2
  2-a	1-a2	a-2	a2

  （3）對(duì)于由m×n個(gè)實(shí)數(shù)組成的m行n列的任意一個(gè)數(shù)表A，能否經(jīng)過(guò)有限次“共軛變形”以后，使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)實(shí)數(shù)？請(qǐng)說(shuō)明理由．
  組卷：15引用：1難度：0.3

  解析