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2020-2021學年江蘇省常州市高二（下）期中數學試卷

發布：2025/6/29 6:0:13

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1．某種電路開關閉合后，會出現紅燈或綠燈閃爍，已知開關第一次閉合后出現紅燈的概率是
1
2
，兩次閉合都出現紅燈的概率為
1
6
，則在第一次閉合后出現紅燈的條件下第二次出現紅燈的概率是（　　）
A．
3
4
B．
1
4
C．
1
3
D．
5
6
組卷：94引用：3難度：0.9
解析
2．已知集合A={x∈Z|x²+x-2≤0}，B={x∈N|0≤log₂（x+1）≤2}，則A∩B的真子集個數為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
組卷：24引用：4難度：0.8
解析
3．漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的“趙爽弦圖”是我國古代數學的瑰寶．如圖所示的弦圖由四個全等的直角三角形和一個正方形構成．現用5種不同的顏色對這四個直角三角形和一個正方形區域涂色，要求相鄰的區域不能用同一種顏色，則不同的涂色方案有（　　）
A．180 B．192 C．300 D．420
組卷：156引用：2難度：0.6
解析
4．已知
C
1011
n
=
C
1012
n
，設（2x-3）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a_n（x-1）ⁿ，下列說法：
①n=2023，
②a_n=-3²⁰²³，
③a₀+a₁+a₂+…+a_n=1，
④展開式中所有項的二項式系數和為1．
其中正確的個數有（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
組卷：309引用：1難度：0.7
解析
5．“石頭、剪刀、布”，又稱“猜丁殼”，是一種流傳多年的猜拳游戲，起源于中國，然后傳到日本、朝鮮等地，隨著亞歐貿易的不斷發展，傳到了歐洲，到了近現代逐漸風靡世界．其游戲規則是：“石頭”勝“剪刀”、“剪刀”勝“布”、“布”勝“石頭”．若所出的拳相同，則為和局．小明和小華兩位同學進行三局兩勝制的“石頭、剪刀、布”游戲比賽，則比賽進行三次且小華獲勝的概率是（　　）
A．
4
27
B．
7
27
C．
1
9
D．
2
27
組卷：137引用：4難度：0.7
解析
6．函數y=（x+2）ln|x|的圖象大致為（　　）
A． B． C． D．
組卷：163引用：11難度：0.7
解析
7．已知隨機變量X服從正態分布N（μ，σ²），有下列四個命題：
甲：P（X＞m+1）＞P（X＜m-2）；
乙：P（X＞m）=0.5；
丙：P（X≤m）=0.5；
丁：P（m-1＜X＜m）＜P（m+1＜X＜m+2）．
如果只有一個假命題，則該命題為（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
組卷：239引用：6難度：0.7
解析
8．某市新冠疫情封閉管理期間，為了更好的保障社區居民的日常生活，選派6名志愿者到甲、乙、丙三個社區進行服務，每人只能去一個地方，每地至少派一人，則不同的選派方案共有（　　）
A．540種 B．180種 C．360種 D．630種
組卷：415引用：7難度：0.6
解析

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．

9．已知當x＞0時，
1
1
+
x
＜
ln
（
1
+
1
x
）
＜
1
x
，則（　　）
A．
e
1
8
＞
8
7
B．
1
+
1
2
+
1
3
+
…
+
1
7
＞
ln
8
C．
1
2
+
1
3
+
…
+
1
8
＜
ln
8
D．
C
0
8
8
0
+
C
1
8
8
1
+…+
C
8
8
8
8
＜e
組卷：85引用：7難度：0.3
解析
10．關于
（
1
x
-
2
x
）
8
的展開式，下列說法正確的有（　　）
A．各項系數之和為1 B．二項式系數之和為256
C．常數項為第四項 D．x²的系數為-1792
組卷：11引用：1難度：0.7
解析
11．已知函數
f
（
x
）
=
e
x
+
xlnx
-
x
-
3
2
x
2
的導函數為g（x），則（　　）
A．f（x）有最小值
B．g（x）有最小值
C．f（1）+f（2023）＞2f（1012）
D．f（x）＞x-x²
組卷：94引用：3難度：0.5
解析

12．下列四個命題中是假命題的是（　　）

A．若復數z滿足z²＜0，則z是虛數

B．若直線的傾斜率為tanα，則直線的斜角為α

C．若P（A）＞0，P（B）＞0，事件A，B相互獨立和A，B相互互斥不能同時成立

D．若

（

，-

）

，

（

，-

）

，

（

）

，∠ABC為銳角，則實數m的取值范圍是

＞

組卷：7引用：1難度：0.5

解析

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．

13．若一個四位數（可以有重復數字）每一位都從1、2、3、4、5五個數字中選取，可以構成
個這樣的四位數（用數字作答）．
組卷：8引用：1難度：0.7
解析
14．（1-ax²）（1+x）⁴的展開式中x³的系數為12，則a=
．
組卷：162引用：5難度：0.8
解析
15．已知f（x）=2x²-ax+lnx在區間（1，+∞）上單調遞增，則實數a的取值范圍是
．
組卷：1139引用：6難度：0.6
解析
16．假設《孤注一擲》電影里的梁安娜在線為你擲骰子，她將一顆骰子連擲兩次，每次結果相互獨立，則第一次點數小于3且第二次點數大于3的概率為
．
組卷：64引用：1難度：0.7
解析

四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

17．已知函數
f
（
x
）
=
ln
（
2
x
+
a
）
（
a
∈
R
）
．
（1）若函數F（x）=f（x）-ln[（2-a）x+3a-3]有唯一零點，求實數a的取值范圍；
（2）若對任意實數
m
∈
[
3
4
，
1
]
，對任意x₁，x₂∈[m,4m-1]，恒有|f（x₁）-f（x₂）|≤ln2成立，求正實數a的取值范圍．
組卷：218引用：5難度：0.3
解析
18．在一次數學隨堂小測驗中，有單項選擇題和多項選擇題兩種．單項選擇題，每道題四個選項中僅有一個正確，選擇正確得5分，選擇錯誤得0分；多項選擇題，每道題四個選項中有兩個或三個選項正確，全部選對得5分，部分選對得2分，有選擇錯誤的得0分．
（1）小明同學在這次測驗中，如果不知道單項選擇題的答案就隨機猜測．已知小明知道單項選擇題的正確答案的概率是
2
3
，隨機猜測的概率是
1
3
，問小明在做某道單項選擇題時，在該道題做對的條件下，求他知道這道單項選擇題正確答案的概率．
（2）小明同學在做多選題時，選擇一個選項的概率為
1
5
，選擇兩個選項的概率為
2
5
，選擇三個選項的概率為
2
5
．已知某個多項選擇題有三個選項是正確的，小明在完全不知道四個選項正誤的情況下，只好根據自己的經驗隨機選擇，記小明做這道多項選擇題所得的分數為X，求X的分布列及數學期望．
組卷：259引用：5難度：0.5
解析
19．有男運動員4名、女運動員3名，其中男、女隊長各1人．現7名運動員排成一排．
（1）如果女運動員全排在一起，有多少種不同排法？
（2）如果女運動員都不相鄰，有多少種排法？
（3）如果女運動員不站兩端，有多少種排法？
組卷：34引用：2難度：0.6
解析
20．若（1-
1
2
x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，且a₂=7．
（Ⅰ）求（1-
1
2
x）ⁿ的展開式中二項式系數最大的項；
（Ⅱ）求a₁+2a₂+2²a₃+2³a₄+…+2^n-1a_n的值．
組卷：597引用：4難度：0.7
解析
21．某地舉行一場游戲，每個項目成功率的計算公式為P_i=
R
i
N
，其中P_i為第i個項目的成功率，R_i為該項目成功的人數，N為參加游戲的總人數．現對300人進行一次測試，共5個游戲項目．測試前根據實際情況，預估了每個項目的難度，如表所示：

項目號 1 2 3 4 5

游戲前預估成功率P_i 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4

測試后，隨機抽取了20人的數據進行統計，結果如表：

項目號 1 2 3 4 5

實測成功人數 16 16 14 14 4

（1）根據題中數據，估計這300人中第5個項目的實測成功的人數；
（2）從抽樣的20人中隨機抽取2人，記這2人中第5個項目成功的人數為X，求X的分布列和數學期望；
（3）游戲項目的預估難度和實測難度之間會有偏差，設P′_i為第i個項目的實測成功率，并定義統計量S=
1
n
[（P′₁-P₁）²+（P′₂-P₂）²+…+（P′_n-P_n）²]，若S＜0.05，則本次游戲項目的成功率預估合理，否則不合理，試檢驗本次測試對成功率的預估是否合理．
組卷：19引用：1難度：0.5
解析
22．已知函數f（x）=x²+bx+c,滿足f（x）=f（1-x），其一個零點為-1．
（1）當m≥0時，解關于x的不等式mf（x）≥2（x-m-1）；
（2）設h（x）=3^{|f（x）+3x-1|}，若對于任意的實數x₁，x₂∈[-2，2]，都有|h（x₁）-h（x₂）|≤M，求M的最小值．
組卷：189引用：3難度：0.5
解析

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A．各項系數之和為1	B．二項式系數之和為256
C．常數項為第四項	D．x²的系數為-1792

項目號	1	2	3	4	5
游戲前預估成功率P_i	0.9	0.8	0.7	0.6	0.4

項目號	1	2	3	4	5
實測成功人數	16	16	14	14	4

2020-2021學年江蘇省常州市高二（下）期中數學試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1．某種電路開關閉合后，會出現紅燈或綠燈閃爍，已知開關第一次閉合后出現紅燈的概率是12，兩次閉合都出現紅燈的概率為16，則在第一次閉合后出現紅燈的條件下第二次出現紅燈的概率是（ ）

2．已知集合A={x∈Z|x2+x-2≤0}，B={x∈N|0≤log2（x+1）≤2}，則A∩B的真子集個數為（ ）

4．已知C1011n=C1012n，設（2x-3）n=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+an（x-1）n，下列說法：①n=2023，②an=-32023，③a0+a1+a2+…+an=1， ④展開式中所有項的二項式系數和為1．其中正確的個數有（ ）

6．函數y=（x+2）ln|x|的圖象大致為（ ）

7．已知隨機變量X服從正態分布N（μ，σ2），有下列四個命題：甲：P（X＞m+1）＞P（X＜m-2）；乙：P（X＞m）=0.5；丙：P（X≤m）=0.5；丁：P（m-1＜X＜m）＜P（m+1＜X＜m+2）．如果只有一個假命題，則該命題為（ ）

8．某市新冠疫情封閉管理期間，為了更好的保障社區居民的日常生活，選派6名志愿者到甲、乙、丙三個社區進行服務，每人只能去一個地方，每地至少派一人，則不同的選派方案共有（ ）

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．

9．已知當x＞0時，11+x＜ln（1+1x）＜1x，則（ ）

10．關于（1x-2x）8的展開式，下列說法正確的有（ ）

11．已知函數f（x）=ex+xlnx-x-32x2的導函數為g（x），則（ ）

12．下列四個命題中是假命題的是（ ）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．

13．若一個四位數（可以有重復數字）每一位都從1、2、3、4、5五個數字中選取，可以構成 個這樣的四位數（用數字作答）．

14．（1-ax2）（1+x）4的展開式中x3的系數為12，則a=．

15．已知f（x）=2x2-ax+lnx在區間（1，+∞）上單調遞增，則實數a的取值范圍是 ．

16．假設《孤注一擲》電影里的梁安娜在線為你擲骰子，她將一顆骰子連擲兩次，每次結果相互獨立，則第一次點數小于3且第二次點數大于3的概率為 ．

四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

17．已知函數f（x）=ln（2x+a）（a∈R）．（1）若函數F（x）=f（x）-ln[（2-a）x+3a-3]有唯一零點，求實數a的取值范圍；（2）若對任意實數m∈[34，1]，對任意x1，x2∈[m,4m-1]，恒有|f（x1）-f（x2）|≤ln2成立，求正實數a的取值范圍．

20．若（1-12x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，且a2=7．（Ⅰ）求（1-12x）n的展開式中二項式系數最大的項；（Ⅱ）求a1+2a2+22a3+23a4+…+2n-1an的值．

22．已知函數f（x）=x2+bx+c,滿足f（x）=f（1-x），其一個零點為-1．（1）當m≥0時，解關于x的不等式mf（x）≥2（x-m-1）；（2）設h（x）=3|f（x）+3x-1|，若對于任意的實數x1，x2∈[-2，2]，都有|h（x1）-h（x2）|≤M，求M的最小值．

1．某種電路開關閉合后，會出現紅燈或綠燈閃爍，已知開關第一次閉合后出現紅燈的概率是
1
2
，兩次閉合都出現紅燈的概率為
1
6
，則在第一次閉合后出現紅燈的條件下第二次出現紅燈的概率是（　　）

2．已知集合A={x∈Z|x²+x-2≤0}，B={x∈N|0≤log₂（x+1）≤2}，則A∩B的真子集個數為（　　）

4．已知
C
1011
n
=
C
1012
n
，設（2x-3）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a_n（x-1）ⁿ，下列說法：
①n=2023，
②a_n=-3²⁰²³，
③a₀+a₁+a₂+…+a_n=1，
④展開式中所有項的二項式系數和為1．
其中正確的個數有（　　）

6．函數y=（x+2）ln|x|的圖象大致為（　　）

7．已知隨機變量X服從正態分布N（μ，σ²），有下列四個命題：
甲：P（X＞m+1）＞P（X＜m-2）；
乙：P（X＞m）=0.5；
丙：P（X≤m）=0.5；
丁：P（m-1＜X＜m）＜P（m+1＜X＜m+2）．
如果只有一個假命題，則該命題為（　　）

8．某市新冠疫情封閉管理期間，為了更好的保障社區居民的日常生活，選派6名志愿者到甲、乙、丙三個社區進行服務，每人只能去一個地方，每地至少派一人，則不同的選派方案共有（　　）

9．已知當x＞0時，
1
1
+
x
＜
ln
（
1
+
1
x
）
＜
1
x
，則（　　）

10．關于
（
1
x
-
2
x
）
8
的展開式，下列說法正確的有（　　）

11．已知函數
f
（
x
）
=
e
x
+
xlnx
-
x
-
3
2
x
2
的導函數為g（x），則（　　）

12．下列四個命題中是假命題的是（　　）

13．若一個四位數（可以有重復數字）每一位都從1、2、3、4、5五個數字中選取，可以構成
個這樣的四位數（用數字作答）．

14．（1-ax²）（1+x）⁴的展開式中x³的系數為12，則a=
．

15．已知f（x）=2x²-ax+lnx在區間（1，+∞）上單調遞增，則實數a的取值范圍是
．

16．假設《孤注一擲》電影里的梁安娜在線為你擲骰子，她將一顆骰子連擲兩次，每次結果相互獨立，則第一次點數小于3且第二次點數大于3的概率為
．

20．若（1-
1
2
x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，且a₂=7．
（Ⅰ）求（1-
1
2
x）ⁿ的展開式中二項式系數最大的項；
（Ⅱ）求a₁+2a₂+2²a₃+2³a₄+…+2^n-1a_n的值．