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2023-2024學(xué)年福建省福州市高新一中（閩侯縣三中）高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）

發(fā)布：2025/6/29 15:0:16

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1．已知橢圓C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，過(guò)F₁的直線(xiàn)與C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF₁|=2|F₁B|，|AB|=|BF₂|，則C的離心率為（　　）
A．
1
3
B．
2
3
C．
3
3
D．
2
2
3
組卷：377引用：8難度：0.7
解析
2．給出下列命題：
①若A，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，則有
AB
+
BC
+
CD
+
DA
=
0
；
②
|
a
|
-
|
b
|
=
|
a
+
b
|
是
a
，
b
共線(xiàn)的充要條件；
③若
AB
，
CD
共線(xiàn)，則AB∥CD；
④對(duì)空間任意一點(diǎn)O與不共線(xiàn)的三點(diǎn)A，B，C，若
OP
=
x
OA
+
y
OB
+
z
OC
（其中x,y,z∈R），則P，A，B，C四點(diǎn)共面．
其中不正確命題的個(gè)數(shù)是（　?。?/h2>
A．1 B．2 C．3 D．4
組卷：187引用：4難度：0.7
解析
3．若直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，3），B（-1，11），則直線(xiàn)l的斜率為（　　）
A．-4 B．4 C．-3 D．3
組卷：37引用：5難度：0.9
解析
4．橢圓
C
：
x
2
16
+
y
2
4
=
1
的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)和焦點(diǎn)坐標(biāo)依次為（　?。?/h2>
A．8，4，
（
±
2
3
，
0
）
B．8，4，
（
0
，
±
2
3
）
C．4，2，
（
±
2
3
，
0
）
D．4，2，
（
0
，
±
2
3
）
組卷：10引用：1難度：0.7
解析
5．已知直線(xiàn)x+my-3=0的傾斜角的余弦值為
6
3
，則實(shí)數(shù)m的值為（　?。?/h2>
A．
-
2
B．
-
2
2
C．
2
2
D．
2
組卷：50引用：5難度：0.8
解析
6．已知直線(xiàn)l₁：kx+y+1=0與l₂：kx+（k-4）y+1=0平行，則k的值是（　?。?/h2>
A．5 B．0或5 C．0 D．0或1
組卷：207引用：6難度：0.7
解析
7．已知圓C：x²+（y-5）²=4和兩點(diǎn)A（-a,0）、B（a,0）（a＞0），若圓C上存在點(diǎn)M，滿(mǎn)足MA⊥MB，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　?。?/h2>
A．（3，5） B．[3，5] C．[3，7] D．[4，7]
組卷：409引用：3難度：0.5
解析
8．如圖，已知平行六面體ABCD-A'B'C'D'，點(diǎn)E是CC'的中點(diǎn)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　?。?/h2>
A．
AB
+
AD
=
AC
B．
AB
-
AA
′
=
BA
′
C．
AB
+
AD
+
AA
′
=
AC
′
D．
AB
+
BC
+
1
2
CC
′
=
AE
組卷：289引用：6難度：0.7
解析

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出得選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分。

9．已知雙曲線(xiàn)C：
x
2
-
y
2
3
=
1
，則（　　）

A．雙曲線(xiàn)C與圓

（

）

有3個(gè)公共點(diǎn)

B．雙曲線(xiàn)C的離心率與橢圓

的離心率的乘積為1

C．雙曲線(xiàn)C與雙曲線(xiàn)

有相同的漸近線(xiàn)

D．雙曲線(xiàn)C的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)y²=8x的焦點(diǎn)相同

組卷：278引用：10難度：0.7

解析

10．設(shè)橢圓
x
2
9
+
y
2
3
=1的右焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)y=m（0＜m＜
3
）與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則下述結(jié)論正確的是（　　）
A．AF+BF為定值
B．△ABF的周長(zhǎng)的取值范圍是[6，12]
C．當(dāng)m=
2
時(shí)，△ABF 為直角三角形
D．當(dāng)m=1時(shí)，△ABF 的面積為
6
組卷：504引用：6難度：0.6
解析
11．已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，a_n+a_n+1=2n-1．（　?。?/h2>
A．當(dāng)a₁=1時(shí)，a₆=4
B．當(dāng)a₁=2時(shí)，S₁₀₀=4950
C．當(dāng)S_k+2-S_k=15時(shí)，k=8
D．當(dāng)a₁=0，a₂=1時(shí)，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列
組卷：72引用：1難度：0.5
解析
12．在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，A（-1，0，0），B（1，2，-2），C（0，0，-2），則（　　）
A．
OC
?
AB
=3
B．點(diǎn)B到平面AOC的距離是2
C．異面直線(xiàn)OC與AB所成角的余弦值為
3
4
D．點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離是
6
3
組卷：85引用：6難度：0.6
解析

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13．在數(shù)列{a_n}中，a₁=4，且
a
n
+
1
-
2
n
+
1
-
a
n
-
2
n
=
2
．則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為
．
組卷：76引用：2難度：0.8
解析
14．在圓x²+y²=5x內(nèi)，過(guò)點(diǎn)（
5
2
，
3
2
）有n條弦的長(zhǎng)度成等差數(shù)列，最小弦長(zhǎng)為數(shù)列的首項(xiàng)a₁，最大弦長(zhǎng)為a_n，若公差d∈[
1
6
，
1
3
]，那么n的可能取值為

．
組卷：157引用：5難度：0.5
解析
15．已知A（1，2，0），B（0，1，-1），P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|
PA
|=|
PB
|時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為
；當(dāng)
AP
?
BP
取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為
．
組卷：9引用：0難度：0.7
解析
16．已知雙曲線(xiàn)
W
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
的左焦點(diǎn)為F（-c,0），直線(xiàn)
l
：
y
=
3
3
（
x
+
c
）
與W的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，O點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)．若
OA
?
CF
=
c
2
3
，則W的離心率為
．
組卷：78引用：4難度：0.5
解析

四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17．已知點(diǎn)F是雙曲線(xiàn)C：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|OP|=c,且
∠
POF
=
π
3
，則雙曲線(xiàn)的離心率為
．
組卷：35引用：1難度：0.7
解析
18．已知
f
（
α
）
=
cos
（
2
π
-
α
）
sin
（
π
+
α
）
sin
（
π
2
+
α
）
tan
（
3
π
-
α
）
．
（1）求f（
4
π
3
）的值；
（2）若
f
（
α
+
π
6
）
=
1
4
，求
cos
（
5
π
6
-
α
）
及
co
s
2
（
π
3
-
α
）
的值．
組卷：437引用：4難度：0.7
解析
19．已知圓A的方程為x²+y²-2x-2y-7=0，圓B的方程為x²+y²+2x+2y-2=0，
（Ⅰ）判斷圓A與圓B是否相交，若相交，求過(guò)兩交點(diǎn)的直線(xiàn)方程及兩交點(diǎn)間的距離；若不相交，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（Ⅱ）求兩圓的公切線(xiàn)長(zhǎng)．
組卷：78引用：3難度：0.3
解析
20．設(shè)直線(xiàn)l的方程為（a+1）x+y+3-a=0（a∈R）．
（1）若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求a的值；
（2）若l不經(jīng)過(guò)第三象限，求a的取值范圍．
組卷：99引用：6難度：0.7
解析
21．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AC=4，AB=3，BC=5，點(diǎn)D是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)．
（1）求證：AB⊥A₁C；
（2）求二面角D-CA₁-A的余弦值．
組卷：339引用：6難度：0.6
解析
22．已知拋物線(xiàn)C：y=2x²和直線(xiàn)l：y=kx+1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求證：l與C必有兩交點(diǎn)；
（2）設(shè)l與C交于A，B兩點(diǎn)，且直線(xiàn)OA和OB斜率之和為1，求k的值．
組卷：120引用：4難度：0.5
解析

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A．8，4，（ ± 2 3 ， 0 ）	B．8，4，（ 0 ， ± 2 3 ）
C．4，2，（ ± 2 3 ， 0 ）	D．4，2，（ 0 ， ± 2 3 ）

A． AB + AD = AC	B． AB - AA ′ = BA ′
C． AB + AD + AA ′ = AC ′	D． AB + BC + 1 2 CC ′ = AE

2023-2024學(xué)年福建省福州市高新一中（閩侯縣三中）高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F1的直線(xiàn)與C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF1|=2|F1B|，|AB|=|BF2|，則C的離心率為（ ）

3．若直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，3），B（-1，11），則直線(xiàn)l的斜率為（ ）

4．橢圓C：x216+y24=1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)和焦點(diǎn)坐標(biāo)依次為（ ?。?/h2>

5．已知直線(xiàn)x+my-3=0的傾斜角的余弦值為63，則實(shí)數(shù)m的值為（ ?。?/h2>

6．已知直線(xiàn)l1：kx+y+1=0與l2：kx+（k-4）y+1=0平行，則k的值是（ ?。?/h2>

7．已知圓C：x2+（y-5）2=4和兩點(diǎn)A（-a,0）、B（a,0）（a＞0），若圓C上存在點(diǎn)M，滿(mǎn)足MA⊥MB，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ?。?/h2>

8．如圖，已知平行六面體ABCD-A'B'C'D'，點(diǎn)E是CC'的中點(diǎn)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ?。?/h2>

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出得選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分。

9．已知雙曲線(xiàn)C：x2-y23=1，則（ ）

10．設(shè)橢圓x29+y23=1的右焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)y=m（0＜m＜3）與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則下述結(jié)論正確的是（ ）

11．已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，an+an+1=2n-1．（ ?。?/h2>

12．在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，A（-1，0，0），B（1，2，-2），C（0，0，-2），則（ ）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13．在數(shù)列{an}中，a1=4，且an+1-2n+1-an-2n=2．則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為 ．

14．在圓x2+y2=5x內(nèi)，過(guò)點(diǎn)（52，32）有n條弦的長(zhǎng)度成等差數(shù)列，最小弦長(zhǎng)為數(shù)列的首項(xiàng)a1，最大弦長(zhǎng)為an，若公差d∈[16，13]，那么n的可能取值為 ．

15．已知A（1，2，0），B（0，1，-1），P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|PA|=|PB|時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ；當(dāng)AP?BP取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ．

四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17．已知點(diǎn)F是雙曲線(xiàn)C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|OP|=c,且∠POF=π3，則雙曲線(xiàn)的離心率為 ．

18．已知f（α）=cos（2π-α）sin（π+α）sin（π2+α）tan（3π-α）．（1）求f（4π3）的值；（2）若f（α+π6）=14，求cos（5π6-α）及cos2（π3-α）的值．

20．設(shè)直線(xiàn)l的方程為（a+1）x+y+3-a=0（a∈R）．（1）若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求a的值；（2）若l不經(jīng)過(guò)第三象限，求a的取值范圍．

21．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AC=4，AB=3，BC=5，點(diǎn)D是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)．（1）求證：AB⊥A1C；（2）求二面角D-CA1-A的余弦值．

22．已知拋物線(xiàn)C：y=2x2和直線(xiàn)l：y=kx+1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求證：l與C必有兩交點(diǎn)；（2）設(shè)l與C交于A，B兩點(diǎn)，且直線(xiàn)OA和OB斜率之和為1，求k的值．

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1．已知橢圓C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，過(guò)F₁的直線(xiàn)與C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF₁|=2|F₁B|，|AB|=|BF₂|，則C的離心率為（　　）

3．若直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，3），B（-1，11），則直線(xiàn)l的斜率為（　　）

4．橢圓
C
：
x
2
16
+
y
2
4
=
1
的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)和焦點(diǎn)坐標(biāo)依次為（　?。?/h2>

5．已知直線(xiàn)x+my-3=0的傾斜角的余弦值為
6
3
，則實(shí)數(shù)m的值為（　?。?/h2>

6．已知直線(xiàn)l₁：kx+y+1=0與l₂：kx+（k-4）y+1=0平行，則k的值是（　?。?/h2>

7．已知圓C：x²+（y-5）²=4和兩點(diǎn)A（-a,0）、B（a,0）（a＞0），若圓C上存在點(diǎn)M，滿(mǎn)足MA⊥MB，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　?。?/h2>

8．如圖，已知平行六面體ABCD-A'B'C'D'，點(diǎn)E是CC'的中點(diǎn)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　?。?/h2>

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出得選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分。

9．已知雙曲線(xiàn)C：
x
2
-
y
2
3
=
1
，則（　　）

10．設(shè)橢圓
x
2
9
+
y
2
3
=1的右焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)y=m（0＜m＜
3
）與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則下述結(jié)論正確的是（　　）

11．已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，a_n+a_n+1=2n-1．（　?。?/h2>

12．在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，A（-1，0，0），B（1，2，-2），C（0，0，-2），則（　　）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13．在數(shù)列{a_n}中，a₁=4，且
a
n
+
1
-
2
n
+
1
-
a
n
-
2
n
=
2
．則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為
．

14．在圓x²+y²=5x內(nèi)，過(guò)點(diǎn)（
5
2
，
3
2
）有n條弦的長(zhǎng)度成等差數(shù)列，最小弦長(zhǎng)為數(shù)列的首項(xiàng)a₁，最大弦長(zhǎng)為a_n，若公差d∈[
1
6
，
1
3
]，那么n的可能取值為

．

15．已知A（1，2，0），B（0，1，-1），P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|
PA
|=|
PB
|時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為
；當(dāng)
AP
?
BP
取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為
．

四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17．已知點(diǎn)F是雙曲線(xiàn)C：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|OP|=c,且
∠
POF
=
π
3
，則雙曲線(xiàn)的離心率為
．

18．已知
f
（
α
）
=
cos
（
2
π
-
α
）
sin
（
π
+
α
）
sin
（
π
2
+
α
）
tan
（
3
π
-
α
）
．
（1）求f（
4
π
3
）的值；
（2）若
f
（
α
+
π
6
）
=
1
4
，求
cos
（
5
π
6
-
α
）
及
co
s
2
（
π
3
-
α
）
的值．

20．設(shè)直線(xiàn)l的方程為（a+1）x+y+3-a=0（a∈R）．
（1）若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求a的值；
（2）若l不經(jīng)過(guò)第三象限，求a的取值范圍．

21．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AC=4，AB=3，BC=5，點(diǎn)D是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)．
（1）求證：AB⊥A₁C；
（2）求二面角D-CA₁-A的余弦值．

22．已知拋物線(xiàn)C：y=2x²和直線(xiàn)l：y=kx+1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求證：l與C必有兩交點(diǎn)；
（2）設(shè)l與C交于A，B兩點(diǎn)，且直線(xiàn)OA和OB斜率之和為1，求k的值．