2021年安徽省宣城二中自主招生數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本題包括10小題，每小題5分，共計(jì)50分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意。）

• 1．如圖所示幾何體的主視圖為（　　）

  A．

  B．

  C．

  D．
  組卷：159引用：4難度：0.8

  解析

• 2．已知三個(gè)關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=0，bx²+cx+a=0，cx²+ax+b=0恰有一個(gè)公共實(shí)數(shù)根，則

  a

  2

  bc

  +

  b

  2

  ca

  +

  c

  2

  ab

  的值為（　　）

  A．0

  B．1

  C．2

  D．3
  組卷：3375引用：17難度：0.6

  解析

• 3．如圖，拋物線y=

  1

  2

  （x-6）²-2與x軸交于點(diǎn)A、B，把拋物線在x軸及其下方的部分記作C₁，將C₁向左平移得到C₂，C₂與x軸交于點(diǎn)B、O，若直線y=

  1

  2

  x+m與C₁、C₂共有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則m的取值范圍是（　　）

  A．-3≤m＜-2

  B．- 25 8 ＜m＜-2

  C．-5≤m＜-2

  D．- 41 8 ＜m＜-2
  組卷：1008引用：5難度：0.4

  解析

• 4．已知數(shù)m使關(guān)于x的不等式組

  - 11 x - 5 ≤ 6

  m + x 3 ＞ x - m

  至少有一個(gè)非負(fù)整數(shù)解，且使關(guān)于x的分式方程

  1

  x

  -

  2

  -

  3

  =

  m

  -

  x

  2

  -

  x

  有不大于5的整數(shù)解，則所有滿足條件的m的個(gè)數(shù)是（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  組卷：964引用：4難度：0.8

  解析

• 5．對(duì)于函數(shù)y=x²-2|x|-3，下列說法正確的有（　　）個(gè)
  ①圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；②有最小值-4；③當(dāng)方程x²-2|x|-3=m有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，m＞-3；④直線y=x+b與y=x²-2|x|-3的圖象有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，-

  13

  4

  ＜b≤-3．

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  組卷：503引用：2難度：0.6

  解析

• 6．我國魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分制成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形，得到一個(gè)恒等式．后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如圖，若a=2，b=3，現(xiàn)隨機(jī)向該圖形內(nèi)擲一枚小針，則針尖落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率（　　）

  A． 2 5

  B． 1 2

  C． 1 3

  D． 1 4
  組卷：186引用：3難度：0.5

  解析

三、解答題（共4題，滿分70分，需要在答題卷上寫出必要的答題步驟和重要中間結(jié)果。）

• 19．介紹一個(gè)“能被13整除的數(shù)的特征”的數(shù)學(xué)小知識(shí)：一個(gè)多位數(shù)m（數(shù)位大于等于4）的末三位數(shù)與末三位數(shù)以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差記為F（m），F(xiàn)（m）如果能被13整除．則這個(gè)多位數(shù)就一定能被13整除．例如數(shù)字160485，這個(gè)數(shù)末三位是485，末三位以前是160，F(xiàn)（m）=485-160=325，325÷13=25．即325能被13整除，那么160485也能被13整除．
  （注：這個(gè)規(guī)律也適用于11和7）
  （1）F（16142）=

  ，16142

  （填能或不能）被13整除．
  另請(qǐng)證明這個(gè)“能被13整除的數(shù)的特征”的數(shù)學(xué)原理．
  （2）若m,n均為13的倍數(shù)，且m=1020+101a,n=1000b+c+230（0≤a≤9，1≤b≤9，0≤c≤9，且a、b、c均為整數(shù)）．規(guī)定K（m,n）=

  a

  +

  b

  c

  ，當(dāng)

  F

  （

  m

  ）

  13

  +

  F

  （

  n

  ）

  13

  =35時(shí)，求K（m,n）的最大值．
  組卷：394引用：2難度：0.3

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• 20．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC是銳角，E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，將射線AE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，交直線CD于點(diǎn)F．
  （1）當(dāng)AE⊥BC，∠EAF=∠ABC時(shí)，
  ①求證：AE=AF；
  ②連結(jié)BD，EF，若

  EF

  BD

  =

  2

  5

  ，求

  S

  △

  AEF

  S

  菱形

  ABCD

  的值；
  （2）當(dāng)∠EAF=

  1

  2

  ∠BAD時(shí)，延長BC交射線AF于點(diǎn)M，延長DC交射線AE于點(diǎn)N，連結(jié)AC，MN，若AB=4，AC=2，則當(dāng)CE為何值時(shí)，△AMN是等腰三角形．
  組卷：3336引用：10難度：0.2

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