2010年數學奧林匹克模擬試卷（04）

一、選擇題（共6小題，每小題4分，滿分24分）

• 1．a、b、c都是實數，且a≠0，a+b=-2c,則方程ax²+bx+c=0（　　）

  A．有兩個正根	B．至少有一個正根
  C．有且只有一個正根	D．無正根
  組卷：65引用：1難度：0.9

  解析

• 2．a、b都是自然數，且123456789=（11111+a）（11111-b），則（　　）

  A．a-b是奇數

  B．a-b是4的倍數

  C．a-b是2的倍數，但不一定是4的倍數

  D．a-b是2的倍數，但不是4的倍數
  組卷：269引用：2難度：0.9

  解析

• 3．將函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象繞y軸翻轉180°，再繞x軸翻轉180°，所得的函數圖象對應的解析式為（　　）

  A．y=-ax2+bx-c	B．y=-ax2-bx-c
  C．y=ax2-bx-c	D．y=-ax2+bx+c
  組卷：243引用：3難度：0.7

  解析

• 4．如果直角三角形的三邊都是200以內的正整數，且較長的兩邊長相差1，那么這樣的直角三角形有（　　）

  A．12個

  B．9個

  C．6個

  D．1個
  組卷：174引用：2難度：0.9

  解析

三、解答題（共3小題，滿分56分）

• 12．x,y為正整數，且兩個分數之和

  x

  2

  -

  1

  y

  +

  1

  +

  y

  2

  -

  1

  x

  +

  1

  也是整數，求證：這兩個分數都是整數．
  組卷：66引用：1難度：0.1

  解析

• 13．對a＞b＞c＞0，作二次方程x²-（a+b+c）x+ab+bc+ca=0．
  （1）若方程有實根，求證：a,b,c不能成為一個三角形的三條邊長；
  （2）若方程有實根x₀，求證：a＞x₀＞b+c；
  （3）當方程有實根6，9時，求正整數a,b,c.
  組卷：1183引用：7難度：0.1

  解析