2023-2024學(xué)年廣東省廣州市番禺區(qū)仲元中學(xué)高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項識符合題目要求的。

• 1．復(fù)數(shù)z=a²+a+（a²-a）i為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值是（　　）

  A．-1

  B．1

  C．0或-1

  D．0或1
  組卷：117引用：3難度：0.8

  解析

• 2．“l(fā)nx＞lny”是“x＞y”的（　　）

  A．充要條件	B．充分不必要條件
  C．必要不充分條件	D．既不充分也不必要條件
  組卷：95引用：7難度：0.9

  解析

• 3．下列說法中正確的個數(shù)為（　　）
  ①任意一條直線都有傾斜角，但不一定有傾斜率
  ②斜率為-2，在y軸截距為3的直線方程為y=-2x±3
  ③若

  v

  為直線l的方向向量，l⊥平面α，則

  λ

  v

  （λ∈R）是平面α的一個法向量
  ④坐標(biāo)平面內(nèi)過點(diǎn)P（x₀，y₀）的直線可以寫成

  A

  （

  x

  -

  x

  0

  ）

  +

  B

  （

  y

  -

  y

  0

  ）

  =

  0

  （

  A

  2

  +

  B

  2

  ≠

  0

  ）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  組卷：21引用：1難度：0.7

  解析

• 4．若

  α

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  2

  ）

  ，

  tan

  2

  α

  =

  sin

  （

  π

  2

  -

  α

  ）

  2

  -

  sinα

  ，則cosα的值為（　　）

  A． 15 16

  B． 1 4

  C． 3 4

  D． 15 4
  組卷：133引用：1難度：0.5

  解析

• 5．在正四面體A-PBC中，過點(diǎn)A作平面PBC的垂線，垂足為Q點(diǎn)，點(diǎn)M滿足

  AM

  =

  3

  4

  AQ

  ，則

  PM

  =（　　）

  A． 1 4 PA - 3 4 PB + 1 4 PC	B． 1 4 PA + 1 4 PB + 1 4 PC
  C． 1 4 PA + 3 4 PB + 1 4 PC	D． 1 4 PA - 1 4 PB + 3 4 PC
  組卷：302引用：4難度：0.7

  解析

• 6．已知空間向量

  a

  =

  （

  2

  ，-

  1

  ，

  3

  ）

  ，

  b

  =

  （

  -

  1

  ，

  4

  ，-

  2

  ）

  ，

  c

  =

  （

  7

  ，

  5

  ，

  λ

  ）

  ，若

  a

  、

  b

  、

  c

  不能構(gòu)成空間向量的一組基底，則實數(shù)λ=（　　）

  A． 67 7

  B． 66 5

  C． 67 5

  D． 65 7
  組卷：85引用：1難度：0.5

  解析

• 7．已知兩點(diǎn)A（-3，4），B（3，2），過點(diǎn)P（1，0）的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍為（　　）

  A．[-1，1]	B．[1，+∞）
  C．（-∞，-1]∪[1，+∞）	D．（-∞，-1]
  組卷：113引用：4難度：0.8

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

• 21．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a,b,c,且有

  sin

  A

  =

  （

  a

  -

  b

  ）

  （

  sin

  A

  +

  sin

  B

  ）

  +

  csin

  C

  2

  a

  -

  b

  ，求：
  （1）C；
  （2）sin²A+sin²B的最大值．
  組卷：105引用：3難度：0.5

  解析

• 22．中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣．芻，草也．甍，屋蓋也．”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱．芻甍是茅草屋頂．”現(xiàn)有一個芻甍如圖所示，四邊形ABCD為正方形，四邊形ABFE，CDEF為兩個全等的等腰梯形，AB=4，EF∥AB，AB=2EF，EA=ED=FB=FC=3．
  （1）當(dāng)點(diǎn)N為線段AD的中點(diǎn)時，求證：直線AD⊥平面EFN；
  （2）當(dāng)點(diǎn)N在線段AD上時（包含端點(diǎn)），求平面BFN和平面ADE的夾角的余弦值的取值范圍．
  組卷：156引用：12難度：0.5

  解析