人教五四新版九年級（上）中考題單元試卷：第28章 二次函數（17）

一、填空題（共1小題）

• 1．已知在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，線段AB的兩個端點A（0，2），B（1，0）分別在y軸和x軸的正半軸上，點C為線段AB的中點，現將線段BA繞點B按順時針方向旋轉90°得到線段BD，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過點D．
  （1）如圖1，若該拋物線經過原點O，且a=-

  1

  3

  ．
      ①求點D的坐標及該拋物線的解析式；
      ②連接CD，問：在拋物線上是否存在點P，使得∠POB與∠BCD互余？若存在，請求出所有滿足條件的點P的坐標，若不存在，請說明理由；
  （2）如圖2，若該拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過點E（1，1），點Q在拋物線上，且滿足∠QOB與∠BCD互余．若符合條件的Q點的個數是4個，請直接寫出a的取值范圍．
  
  組卷：2488引用：54難度：0.3

  解析

二、解答題（共29小題）

• 2．已知拋物線y=

  1

  2

  x²+c與x軸交于A（-1，0），B兩點，交y軸于點C．
  
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）點E（m,n）是第二象限內一點，過點E作EF⊥x軸交拋物線于點F，過點F作FG⊥y軸于點G，連接CE、CF，若∠CEF=∠CFG．求n的值并直接寫出m的取值范圍（利用圖1完成你的探究）．
  （3）如圖2，點P是線段OB上一動點（不包括點O、B），PM⊥x軸交拋物線于點M，∠OBQ=∠OMP，BQ交直線PM于點Q，設點P的橫坐標為t,求△PBQ的周長．
  組卷：3825引用：56難度：0.5

  解析

• 3．已知關于x的一元二次方程x²+2x+

  k

  -

  1

  2

  =0有兩個不相等的實數根，k為正整數．
  （1）求k的值；
  （2）當此方程有一根為零時，直線y=x+2與關于x的二次函數y=x²+2x+

  k

  -

  1

  2

  的圖象交于A、B兩點，若M是線段AB上的一個動點，過點M作MN⊥x軸，交二次函數的圖象于點N，求線段MN的最大值及此時點M的坐標；
  （3）將（2）中的二次函數圖象x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余部分保持不變，翻折后的圖象與原圖象x軸上方的部分組成一個“W”形狀的新圖象，若直線y=

  1

  2

  x+b與該新圖象恰好有三個公共點，求b的值．
  組卷：2301引用：56難度：0.5

  解析

• 4．如圖，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，頂點M關于x軸的對稱點是M′．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）若直線AM′與此拋物線的另一個交點為C，求△CAB的面積；
  （3）是否存在過A，B兩點的拋物線，其頂點P關于x軸的對稱點為Q，使得四邊形APBQ為正方形？若存在，求出此拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．
  組卷：3081引用：56難度：0.5

  解析

• 5．如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸與拋物線交于點P、與直線BC相交于點M，連接PB．
  （1）求該拋物線的解析式；
  （2）在（1）中位于第一象限內的拋物線上是否存在點D，使得△BCD的面積最大？若存在，求出D點坐標及△BCD面積的最大值；若不存在，請說明理由．
  （3）在（1）中的拋物線上是否存在點Q，使得△QMB與△PMB的面積相等？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
  組卷：7731引用：58難度：0.5

  解析

• 6．如圖，拋物線y=x²-4x與x軸交于O，A兩點，P為拋物線上一點，過點P的直線y=x+m與對稱軸交于點Q．
  （1）這條拋物線的對稱軸是

  ，直線PQ與x軸所夾銳角的度數是

  ；
  （2）若兩個三角形面積滿足S_△POQ=

  1

  3

  S_△PAQ，求m的值；
  （3）當點P在x軸下方的拋物線上時，過點C（2，2）的直線AC與直線PQ交于點D，求：①PD+DQ的最大值；②PD?DQ的最大值．
  組卷：3346引用：53難度：0.5

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• 7．如圖，已知二次函數的圖象M經過A（-1，0），B（4，0），C（2，-6）三點．
  （1）求該二次函數的解析式；
  （2）點G是線段AC上的動點（點G與線段AC的端點不重合），若△ABG與△ABC相似，求點G的坐標；
  （3）設圖象M的對稱軸為l,點D（m,n）（-1＜m＜2）是圖象M上一動點，當△ACD的面積為

  27

  8

  時，點D關于l的對稱點為E，能否在圖象M和l上分別找到點P、Q，使得以點D、E、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由．
  組卷：3181引用：51難度：0.5

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• 8．如圖，拋物線y=ax²+c（a≠0）與y軸交于點A，與x軸交于B，C兩點（點C在x軸正半軸上），△ABC為等腰直角三角形，且面積為4，現將拋物線沿BA方向平移，平移后的拋物線過點C時，與x軸的另一點為E，其頂點為F，對稱軸與x軸的交點為H．
  （1）求a、c的值．
  （2）連接OF，試判斷△OEF是否為等腰三角形，并說明理由．
  （3）現將一足夠大的三角板的直角頂點Q放在射線AF或射線HF上，一直角邊始終過點E，另一直角邊與y軸相交于點P，是否存在這樣的點Q，使以點P、Q、E為頂點的三角形與△POE全等？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
  
  組卷：3185引用：57難度：0.5

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• 9．如圖，已知一條直線過點（0，4），且與拋物線y=

  1

  4

  x²交于A，B兩點，其中點A的橫坐標是-2．
  （1）求這條直線的函數關系式及點B的坐標．
  （2）在x軸上是否存在點C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出點C的坐標，若不存在，請說明理由．
  （3）過線段AB上一點P，作PM∥x軸，交拋物線于點M，點M在第一象限，點N（0，1），當點M的橫坐標為何值時，MN+3MP的長度最大？最大值是多少？
  組卷：7788引用：75難度：0.5

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• 10．已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點A（m-2，0）和B（2m+1，0）（點A在點B的左側），與y軸相交于點C，頂點為P，對稱軸為l：x=1．
  （1）求拋物線解析式．
  （2）直線y=kx+2（k≠0）與拋物線相交于兩點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₁＜x₂），當|x₁-x₂|最小時，求拋物線與直線的交點M與N的坐標．
  （3）首尾順次連接點O、B、P、C構成多邊形的周長為L，若線段OB在x軸上移動，求L最小值時點O，B移動后的坐標及L的最小值．
  組卷：1520引用：50難度：0.5

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二、解答題（共29小題）

• 29．如圖，拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點D和點C關于拋物線的對稱軸對稱，直線AD與y軸交于點E．
  
  （1）求直線AD的解析式；
  （2）如圖1，直線AD上方的拋物線上有一點F，過點F作FG⊥AD于點G，作FH平行于x軸交直線AD于點H，求△FGH周長的最大值；
  （3）點M是拋物線的頂點，點P是y軸上一點，點Q是坐標平面內一點，以A，M，P，Q為頂點的四邊形是以AM為邊的矩形．若點T和點Q關于AM所在直線對稱，求點T的坐標．
  組卷：5019引用：52難度：0.5

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• 30．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c經過A（-2，0），B（4，0），C（0，3）三點．
  （1）求該拋物線的解析式；
  （2）在y軸上是否存在點M，使△ACM為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有滿足要求的點M的坐標；若不存在，請說明理由；
  （3）若點P（t,0）為線段AB上一動點（不與A，B重合），過P作y軸的平行線，記該直線右側與△ABC圍成的圖形面積為S，試確定S與t的函數關系式．
  組卷：2580引用：52難度：0.5

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