2021-2022學(xué)年上海市徐匯區(qū)南洋模范中學(xué)高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）

• 1．若a＞0，化簡：

  （

  a

  3

  2

  ）

  3

  ?

  a

  =

  ．
  組卷：191引用：3難度：0.9

  解析

• 2．已知扇形的弧長為

  5

  π

  3

  ，半徑為2，則此扇形的圓心角的弧度數(shù)是

  ．
  組卷：27引用：2難度：0.7

  解析

• 3．在年利率為5%，且按年計(jì)復(fù)利的條件下，1萬元存款連本帶利超過5萬元需要

  年（log_1.055≈32.98）．
  組卷：26引用：2難度：0.7

  解析

• 4．已知log₇3=a,7^b=2，用a及b表示log₇72=

  ．
  組卷：134引用：4難度：0.7

  解析

• 5．若冪函數(shù)

  y

  =

  x

  -

  m

  2

  +

  2

  m

  +

  1

  （m為整數(shù)）的定義域?yàn)镽，則m=

  ．
  組卷：42引用：3難度：0.7

  解析

• 6．不等式2^x+log₂x＞2的解集是

  ．
  組卷：19引用：2難度：0.7

  解析

• 7．用集合符號(hào)填空：

  {

  a

  |

  a

  =

  x

  +

  2

  y

  ,

  x

  ,

  y

  ∈

  Q

  }

  Q．
  組卷：21引用：1難度：0.7

  解析

三、解答題（本大題共5題，滿分76分）

• 20．已知函數(shù)g（x）=|log₂x|．
  （1）若關(guān)于x的方程g（x）=n有兩個(gè)不等根α，β（α＜β），求αβ的值；
  （2）若m∈R，f（x）=g（x+m），判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性，并說明理由；
  （3）是否存在實(shí)數(shù)a∈（2，4），使得對(duì)任意p∈[1，2]，關(guān)于x的方程4g²（x）-4ag（x）+3a-1=p在區(qū)間

  [

  1

  8

  ，

  4

  ]

  上總有3個(gè)不等根x₁，x₂，x₃，若存在，求出實(shí)數(shù)a與x₁?x₂?x₃的取值范圍；若不存在，說明理由．
  組卷：32引用：2難度：0.4

  解析

• 21．已知函數(shù)f（x），g（x）的在數(shù)集D上都有定義，對(duì)于任意的x₁，x₂∈D，當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，

  g

  （

  x

  1

  ）

  ≤

  f

  （

  x

  1

  ）

  -

  f

  （

  x

  2

  ）

  x

  1

  -

  x

  2

  ≤

  g

  （

  x

  2

  ）

  或

  g

  （

  x

  2

  ）

  ≤

  f

  （

  x

  1

  ）

  -

  f

  （

  x

  2

  ）

  x

  1

  -

  x

  2

  ≤

  g

  （

  x

  1

  ）

  成立，則稱g（x）是數(shù)集D上f（x）的“限制函數(shù)”．
  （1）試判斷函數(shù)

  g

  （

  x

  ）

  =

  1

  x

  2

  是否是函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  -

  1

  x

  在D=（0，+∞）上的“限制函數(shù)”；
  （2）設(shè)g（x）是f（x）在區(qū)間D₁（D₁?D）上的“限制函數(shù)”且g（x）在區(qū)間D₁上的值恒正，求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間D₁上是增函數(shù)；
  （3）設(shè)

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  2

  -

  2

  x

  ，試寫出函數(shù)f（x）在D=（0，+∞）上的“限制函數(shù)”，并利用（2）的結(jié)論，求f（x）在D=（0，+∞）上的單調(diào)區(qū)間，說明理由．
  組卷：73引用：3難度：0.6

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