2010年競賽輔導：整數的有關問題

一、填空題（共62小題，每小題5分，滿分310分）

• 1．一個小數的小數點分別向右、向左移動一位后，得到的兩個數的差是23.76，則原小數是

   

  ．
  組卷：54引用：1難度：0.9

  解析

• 2．如果三位數

  a

  1

  a

  2

  a

  3

  滿足a₁＞a₂及a₃＞a₂，那么這個三位數稱為“凹數”，則所有三位“凹數”的總個數是

  ．
  組卷：102引用：1難度：0.7

  解析

• 3．一個三位數的各位數字互不相同，把它的各位上的數字任意交換位置，又可得到五個三位數，若這六個三位數的和等于2220，那么在所有滿足條件的三位數中，最小的三位數是

  ．
  組卷：82引用：1難度：0.9

  解析

• 4．已知x為正整數，y和z均為素數，且滿足x=yz,

  1

  x

  +

  1

  y

  =

  1

  z

  ，則x的值是

  ．
  組卷：91引用：2難度：0.7

  解析

• 5．已知質數p,q滿足關系式3p+5q=31，則

  p

  3

  q

  -

  1

  =

  ．
  組卷：105引用：1難度：0.9

  解析

• 6．120的所有是合數但不是奇數的正約數的和等于

  ．
  組卷：53引用：3難度：0.5

  解析

• 7．兩位數的質數中，兩個數字和最大的值為

  ．
  組卷：41引用：2難度：0.7

  解析

• 8．在1，2，3…，20這20個數中，質數與合數之和等于

  ．
  組卷：40引用：1難度：0.9

  解析

• 9．3個質數p、q、r滿足p+q=r且p＜q＜r,則p=

   

  ．
  組卷：63引用：1難度：0.9

  解析

• 10．一個質數的平方與一個正奇數的和等于125，則這兩個數的乘積是

   

  ．
  組卷：47引用：1難度：0.9

  解析

• 11．有5個連續的正奇數，它們的乘積為135135，那么這5個數中最小的數是

   

  ．
  組卷：42引用：1難度：0.9

  解析

• 12．210的正偶約數的個數是

   

  ．
  組卷：37引用：1難度：0.7

  解析

• 13．若p為質數，p³+5仍為質數，則p⁵-7=

   

  ．
  組卷：58引用：1難度：0.9

  解析

• 14．99個連續自然數之和等于abcd,若a、b、c、d皆為質數，則a+b+c+d的最小值等于

   

  ．
  組卷：119引用：3難度：0.9

  解析

• 15．三個質數的和為140，則這三個質數的乘積的最大值是

   

  ．
  組卷：55引用：1難度：0.9

  解析

• 16．自然數n的正約數共有10個，則n的最小值是

   

  ．
  組卷：203引用：2難度：0.7

  解析

• 17．設x₁、x₂、x₃均為質數，且x₁+x₂+x₃=68，x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃=1121，則x₁x₂x₃=

   

  ．
  組卷：70引用：1難度：0.9

  解析

• 18．（1994¹⁹⁹⁴+1994¹⁹⁹⁵，1994×1995）=

   

  ．
  組卷：47引用：1難度：0.9

  解析

• 19．兩個兩位數的最大公約數是8，最小公倍數是96，則這兩數的和是

   

  ．
  組卷：41引用：1難度：0.7

  解析

• 20．有若干個蘋果，2個一堆多一個，3個一堆多一個，4個一堆多一個，5個一堆多一個，6個一堆多一個，則這堆蘋果最少有

   

  個．
  組卷：260引用：2難度：0.1

  解析

• 21．已知兩個自然數的乘積是8214，它們的最大公約數是37，求這兩個自然數

  ．
  組卷：60引用：1難度：0.5

  解析

• 22．在一根長木棍上有三種刻度線，第一種刻度線將木棍十等分，第二種刻度線將木棍十二等分，第三種刻度線將木棍十五等分，則若沿每條刻度線將木棍鋸斷，總共可鋸成

   

  段．
  組卷：45引用：1難度：0.7

  解析

• 23．四根鉛絲，長度各為1008cm,1260cm,882cm,1134cm,現在要求把它們截成相等的小段，每根鉛絲都不允許剩下，且截成的小段要最長，則每小段長為

  cm,總共可以截成

  段．
  組卷：49引用：1難度：0.7

  解析

• 24．小明的儲蓄筒里存有二分和五分的硬幣．他把這些硬幣倒了出來，估計有五六元錢，小明把這些硬幣分成兩堆，這兩堆的錢數相等，而且第一堆里二分和五分的硬幣個數相等，第二堆里二分幣的總錢數與五分幣的總錢數相等，則小明共存了

   

  元．
  組卷：42引用：1難度：0.5

  解析

• 25．若按奇偶數分類，則2¹⁹⁹⁰+3¹⁹⁹⁰+7¹⁹⁹⁰+9¹⁹⁹⁰是

   

  數．
  組卷：78引用：1難度：0.7

  解析

• 26．若質數m、n滿足5m+7n=129，則m+n=

  ．
  組卷：194引用：6難度：0.7

  解析

• 27．一個正整數若加上100是某正整數的平方，加上168則是另一個正整數的平方，則此數是

   

  ．
  組卷：52引用：1難度：0.7

  解析

• 28．兩個自然數的和與差的乘積是1996，則這兩數的和是

   

  ．
  組卷：71引用：1難度：0.7

  解析

• 29．設a、b為整數，若5b+a是偶數，則a-3b是

   

  數，若5b+a是奇數呢？
  組卷：78引用：1難度：0.5

  解析

• 30．在表中，有15個數，選出6個數，使它們之和等于30，可能嗎？

   

  （填“能”或“不能”）．

  1	3	5	7	9
  1	3	5	7	9
  1	3	5	7	9
  組卷：63引用：1難度：0.7

  解析

• 31．已知p、q均為質數且p=m+n,q=mn（m、n為正整數），則

  p

  p

  +

  q

  q

  m

  m

  +

  n

  n

  =

  ．
  組卷：59引用：1難度：0.7

  解析

三、解答題（共24小題，滿分0分）

• 93．從小到大排列著的10個自然數1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相鄰若干個數之和是11的倍數的數有多少組？請說明理由．
  組卷：40引用：1難度：0.5

  解析

• 94．設a,b都是整數，求證：a,b,a+b,a-b這4個數中至少有一個能被3整除．
  組卷：72引用：1難度：0.3

  解析