2010年新課標九年級數學競賽培訓第10講：拋物線

一、填空題（共8小題，每小題5分，滿分40分）

• 1．二次函數y=x²+bx+c的圖象如圖所示，則函數值y＜0時，對應x的取值范圍是

   

  ．
  組卷：1058引用：7難度：0.7

  解析

• 2．拋物線y=ax²與直線x=1，x=2，y=1，y=2組成的正方形有公共點，則a的取值范圍是

   

  ．
  組卷：472引用：14難度：0.7

  解析

• 3．拋物線y=x²+bx+c與x軸的正半軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，且線段AB的長為1，△ABC的面積為1，則b的值為

   

  ．
  組卷：217引用：8難度：0.7

  解析

• 4．如圖，拋物線的對稱軸是直線x=1，它與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點A、C的坐標分別為（-1，0）、（0，

  3

  2

  ），則：
  （1）拋物線對應的函數解析式為

   

  ；
  （2）若點P為此拋物線上位于x軸上方的一個動點，則△ABP面積的最大值為

   

  ．
  組卷：134引用：2難度：0.5

  解析

• 5．已知：二次函數y=ax²+bx+c的圖象如圖所示，OA=OC，則由拋物線的特征寫出如下含有a、b、c三個字母的等式或不等式：①

  4

  ac

  -

  b

  2

  4

  a

  =-1；②ac+b+1=0；③abc＞0；④a-b+c＞0．正確的序號是

  ．
  組卷：483引用：6難度：0.6

  解析

• 6．拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C．若△ABC是直角三角形，則ac=

   

  ．
  組卷：801引用：12難度：0.9

  解析

• 7．已知直線y=-2x+3與拋物線y=x²相交于A、B兩點，O為坐標原點，那么△OAB的面積等于

  ．
  組卷：240引用：6難度：0.5

  解析

• 8．已知二次函數y=ax²+bx+c,一次函數y=k（x-1）-

  k

  2

  4

  ，若它們的圖象對于任意的實數k都只有一個公共點，則二次函數的解析式為

   

  ．
  組卷：454引用：5難度：0.7

  解析

二、選擇題（共8小題，每小題4分，滿分32分）

• 9．已知：拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）經過點（-1，0），且滿足4a+2b+c＞0，以下結論：①a+b＞0；②a+c＞0；③-a+b+c＞0；④b²-2ac＞5a²，其中正確的個數有（　　）

  A．1個

  B．2個

  C．3個

  D．4個
  組卷：2987引用：17難度：0.5

  解析

三、解答題（共11小題，滿分78分）

• 26．如圖，在直角坐標系xOy中，二次函數圖象的頂點坐標為C（4，-

  3

  ），且在x軸上截得的線段AB的長為6．
  （1）求二次函數的解析式；
  （2）設拋物線與y軸的交點為D，求四邊形DACB的面積；
  （3）在x軸上方的拋物線上，是否存在點P，使得∠PAC被x軸平分？如果存在，請求出P點的坐標；如果不存在，請說明理由．
  組卷：176引用：6難度：0.1

  解析

• 27．某校研究性學習小組在研究有關二次函數及其圖象性質的問題時，發現了兩個重要結論．一是發現拋物線y=ax²+2x+3（a≠0），當實數a變化時，它的頂點都在某條直線上；二是發現當實數a變化時，若把拋物線y=ax²+2x+3的頂點的橫坐標減少

  1

  a

  ，縱坐標增加

  1

  a

  ，得到A點的坐標；若把頂點的橫坐標增加

  1

  a

  ，縱坐標增加

  1

  a

  ，得到B點的坐標，則A、B兩點一定仍在拋物線y=ax²+2x+3上．
  （1）請你協助探求出當實數a變化時，拋物線y=ax²+2x+3的頂點所在直線的解析式；
  （2）問題（1）中的直線上有一個點不是該拋物線的頂點，你能找出它來嗎？并說明理由；
  （3）在他們第二個發現的啟發下，運用“一般-一特殊-一般”的思想，你還能發現什么？你能用數學語言將你的猜想表述出來嗎？你的猜想能成立嗎？若能成立請說明理由．
  組卷：192引用：4難度：0.1

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