2008-2009學年江西省贛州市南康三中九年級（上）數學競賽試卷

一、填空題（共10小題，每小題3分，滿分30分）

• 1．已知m是方程x²-x-2=0的一個根，則代數式m²-m的值是

  ．
  組卷：486引用：89難度：0.9

  解析

• 2．一名同學在擲骰子，連續拋了9次都沒有點數為6的面朝上，當他擲第10次時，點數為6的面朝上是

   

  事件．
  組卷：61難度：0.9

  解析

• 3．已知a-b=2

  3

  -1，ab=

  3

  ，則（a+1）（b-1）的值是

  ．
  組卷：218難度：0.9

  解析

• 4．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠C=30°，AB=2cm,則⊙O的半徑為

  cm.
  組卷：1052引用：28難度：0.5

  解析

• 5．已知x=-1是關于x的方程2x²+ax-a²=0的一個根，則a=

  ．
  組卷：1632引用：167難度：0.9

  解析

• 6．如圖，如果從半徑為3cm的圓形紙片剪去

  1

  3

  圓周的一個扇形，將留下的扇形圍成一個圓錐（接縫處不重疊），那么這個圓錐的體積是

   

  cm³．
  組卷：105引用：28難度：0.7

  解析

• 7．如圖，將一塊斜邊長為12cm,∠B=60°的直角三角板ABC，繞點C沿逆時針方向旋轉90°至△A′B′C′的位置，再沿CB向右平移，使點B′剛好落在斜邊AB上，那么此三角板向右平移的距離是

  cm.
  組卷：908引用：52難度：0.5

  解析

• 8．如圖，A是第一象限里的點，點B是點A關于原點的對稱點，點C是點A關于x軸的對稱點，則以點A，B，C為頂點的三角形是

   

  三角形．
  組卷：60難度：0.5

  解析

三、解答題（共9小題，滿分72分）

• 24．已知：如圖1，∠ACG=90°，AC=2，點B為CG邊上的一個動點，連接AB，將△ACB沿AB邊所在的直線翻折得到△ADB，過點D作DF⊥CG于點F．
  （1）當BC=

  2

  3

  3

  時，判斷直線FD與以AB為直徑的⊙O的位置關系，并加以證明；
  （2）如圖2，點B在CG上向點C運動，直線FD與以AB為直徑的⊙O交于D、H兩點，連接AH，當∠CAB=∠BAD=∠DAH時，求BC的長．
  
  組卷：585引用：6難度：0.1

  解析

• 25．在圖1-5中，正方形ABCD的邊長為a,等腰直角三角形FAE的斜邊AE=2b,且邊AD和AE在同一直線上．
  操作示例：
  當2b＜a時，如圖1，在BA上選取點G，使BG=b,連接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分別拼接到△FEH和△CHD的位置構成四邊形FGCH．
  思考發現：
  小明在操作后發現：該剪拼方法就是先將△FAG繞點F逆時針旋轉90°到△FEH的位置，易知EH與AD在同一直線上．連接CH，由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，從而又可將△CGB繞點C順時針旋轉90°到△CHD的位置．這樣，對于剪拼得到的四邊形FGCH（如圖1），過點F作FM⊥AE于點M（圖略），利用SAS公理可判斷△HFM≌△CHD，易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90°．進而根據正方形的判定方法，可以判斷出四邊形FGCH是正方形．
  實踐探究：
  （1）正方形FGCH的面積是

  ；（用含a,b的式子表示）
  （2）類比圖1的剪拼方法，請你就圖2-圖4的三種情形分別畫出剪拼成一個新正方形的示意圖．
  
  聯想拓展：
  小明通過探究后發現：當b≤a時，此類圖形都能剪拼成正方形，且所選取的點G的位置在BA方向上隨著b的增大不斷上移；當b＞a時，如圖5的圖形能否剪拼成一個正方形？若能，請你在圖中畫出剪拼的示意圖；若不能，簡要說明理由．
  
  組卷：414引用：13難度：0.1

  解析