2023-2024學年湖南省長沙市雅禮教育集團九年級（上）能力測試數學試卷

一、填空題（共16題，每題5分，共80分）

• 1．下列因式分解正確的是

  ．（填序號）
  ①

  x

  2

  -

  x

  +

  1

  4

  =

  （

  x

  -

  1

  2

  ）

  2

  ；
  ②a⁴b-6a³b+9a²b=a²b（a²-6a+9）；
  ③x²-2x+4=（x-2）²；
  ④4x²-y²=（4x+y）（4x-y）．
  組卷：187引用：1難度：0.8

  解析

• 2．已知

  a

  =

  （

  3

  5

  ）

  -

  1

  3

  ，

  b

  =

  （

  5

  3

  ）

  1

  2

  ，

  c

  =

  （

  4

  3

  ）

  -

  1

  2

  ，則a、b、c三個數的大小關系是

  ．
  組卷：67引用：1難度：0.5

  解析

• 3．關于x的一元二次方程kx²-3x+1=0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是

  ．
  組卷：500引用：5難度：0.5

  解析

• 4．一個數x的小數部分用{x}表示，x-{x}為整數，且0≤{x}≤1，記9+

  13

  ，9-

  13

  的小數部分分別為a,b,則ab-4a+3b-2=

   

  ．
  組卷：393引用：2難度：0.5

  解析

• 5．關于x的不等式組

  x ＞ m + 3

  5 x - 2 ＜ 4 x + 1

  的整數解僅有4個，則m的取值范圍是

  ．
  組卷：1552引用：10難度：0.5

  解析

• 6．一次函數y=

  4

  3

  x+b（b＜0）與y=

  4

  3

  x-1圖象之間的距離等于3，則b的值為

   

  ．
  組卷：339引用：2難度：0.9

  解析

二、解答題（共4題，每題10分，共40分）

• 19．我們不妨約定：對角線互相垂直的凸四邊形叫做“十字形”．
  （1）①在“平行四邊形，矩形，菱形、正方形”中，一定是“十字形”的有

  ；
  ②若凸四邊形ABCD是“十字形”，AC=a,BD=b,則該四邊形的面積為

  ；
  （2）如圖，以“十字形”ABCD的對角線AC與BD為坐標軸，建立如圖所示的平面直角坐標系xOy,若計“十字形”ABCD的面積為S，記△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面積分別為：S₁，S₂，S₃，S₄，且同時滿足四個條件：①

  S

  =

  S

  1

  +

  S

  2

  ；②

  S

  =

  S

  3

  +

  S

  4

  ；③“十字形”ABCD的周長為32；④∠ABC=60°；若E為OA的中點，F為線段BO上一動點，連接EF，動點P從點E出發，以1cm/s的速度沿線段EF勻速運動到點F，再以2cm/s的速度沿線段FB勻速運動到點B，到達點B后停止運動，當點P沿上述路線運動到點B所需要的時間最短時，求點P走完全程所需的時間及直線EF的解析式．
  組卷：155引用：1難度：0.3

  解析

• 20．如圖，拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）與x軸分別交于點A（-1，0），B（3，0），與y軸交于點C．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）存在正實數m,n（m＜n），當m≤x≤n時，恰好滿足

  m

  m

  +

  3

  ≤

  2

  y

  +

  2

  ≤

  n

  n

  +

  3

  ，求m,n的值．
  組卷：159引用：1難度：0.5

  解析