2023-2024學年吉林省松原市前郭第五高級中學高二（上）期中數學試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共4分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

• 1．直線l經過（1，9），（8，5）兩點，則l的斜率為（　　）

  A． - 7 4

  B． - 4 7

  C． 14 9

  D． 9 14
  組卷：175引用：4難度：0.8

  解析

• 2．已知空間向量

  a

  =

  （

  2

  ，

  1

  ，

  1

  ）

  ，

  |

  b

  |

  =

  2

  ，

  cos

  ?

  a

  ，

  b

  ?

  =

  3

  4

  ，則

  a

  在

  b

  上的投影向量為（　　）

  A． 2 3 b

  B． 3 4 b

  C． 4 3 b

  D． 3 4 b
  組卷：81引用：3難度：0.5

  解析

• 3．已知直線l的方向向量為

  a

  =

  （

  1

  ，

  2

  ，

  m

  ）

  ，平面α的法向量為

  b

  =

  （

  2

  ，

  n

  ,

  2

  ）

  ，若l⊥α，則m+n=（　　）

  A．-1

  B．0

  C．2

  D．5
  組卷：79引用：1難度：0.8

  解析

• 4．數學家歐拉在1765年發表的《三角形的幾何學》一書中有這樣一個定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直線上．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點分別為A（0，2），B（-1，0），C（4，0），則△ABC的歐拉線方程為（　　）

  A．4x-3y-6=0

  B．3x+4y+3=0

  C．4x+3y-6=0

  D．3x+4y-3=0
  組卷：44引用：2難度：0.7

  解析

• 5．我國古代數學名著《九章算術》中，將底面為矩形且一側棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，四棱錐P-ABCD為陽馬，PA⊥平面ABCD，且AB=AD=AP=3，

  EC

  =

  2

  PE

  ，則

  AE

  ?

  DE

  =（　　）

  A．-3

  B．3

  C．2

  D．5
  組卷：67引用：4難度：0.7

  解析

• 6．已知圓C與y軸相切于點A（0，2），且與直線4x-3y+9=0相切，則圓C的標準方程為（　　）

  A．（x-3）2+（y-2）2=9

  B．（x+3）2+（y-2）2=9

  C．（x-3）2+（y-2）2=9或 （ x + 1 3 ） 2 + （ y - 2 ） 2 = 1 9

  D． （ x + 3 ） 2 + （ y - 2 ） 2 = 9 或 （ x - 1 3 ） 2 + （ y - 2 ） 2 = 1 9
  組卷：12引用：1難度：0.6

  解析

• 7．如圖，在正四棱錐P-ABCD中，

  PA

  =

  AB

  =

  2

  2

  ，E，F分別是PB，PD的中點，則異面直線AE，CF所成角的余弦值為（　　）

  A． 1 3

  B． 2 3

  C． 3 3

  D． 5 6
  組卷：65引用：3難度：0.5

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

• 21．在平面直角坐標系中，已知兩個定點A（-2，0），B（4，0），動點P滿足|PB|=2|PA|，設動點P的軌跡為曲線C．
  （1）求曲線C的方程；
  （2）過直線l：x+y-4=0上一動點作曲線C的兩條切線，切點為M，N，探究：直線MN是否過定點．
  組卷：63引用：4難度：0.5

  解析

• 22．如圖，某濕地公園的形狀是長方形ABCD，AD=2AB=40，E為BC的中點，線段DE為公園內部的人行道．
  （1）記△DCE的外接圓為圓M，以AB為直徑的圓為圓N，判斷圓M與圓N的位置關系，并說明理由；
  （2）今欲在人行步道（線段DE）上設一觀景臺P，已知當觀景臺P在過A，B兩點的圓與線段DE相切的切點處時，有最佳觀賞和拍攝的效果，若該圓的半徑小于50，問觀景臺P設在何處時，觀賞和拍攝的效果最佳？
  組卷：19引用：2難度：0.5

  解析