2023-2024學年江西省九江一中高三（上）期中數學試卷

一、單選題

• 1．已知集合A={x∈Z|x²+x-2≤0}，B={x∈N|0≤log₂（x+1）≤2}，則A∩B的真子集個數為（　　）

  A．2

  B．3

  C．4

  D．5
  組卷：24引用：4難度：0.8

  解析

• 2．已知復數z滿足2z+i?z=5，則復數z的虛部為（　　）

  A．-1

  B．2

  C．2i

  D．-i
  組卷：34引用：2難度：0.8

  解析

• 3．“?x∈R，關于x的不等式x²-ax+a＞0恒成立”的一個充分不必要條件是（　　）

  A．a＞-1

  B．0＜a＜1

  C．0＜a＜5

  D．0＜a＜4
  組卷：120引用：4難度：0.9

  解析

• 4．純電動汽車是以車載電源為動力，用電機驅動車輪行駛，符合道路交通、安全法規各項要求的車輛，它使用存儲在電池中的電來發動．因其對環境影響較小，逐漸成為當今世界的乘用車的發展方向．研究發現電池的容量隨放電電流的大小而改變，1898年Peukert提出鉛酸電池的容量C、放電時間t和放電電流I之間關系的經驗公式：C=I^λt,其中λ為與蓄電池結構有關的常數（稱為Peukert常數），在電池容量不變的條件下，當放電電流為15A時，放電時間為30h；當放電電流為50A時，放電時間為7.5h,則該萻電池的Peukert常數λ約為（　　）（參考數據：lg2≈0.301，lg3≈0.477）

  A．1.12

  B．1.13

  C．1.14

  D．1.15
  組卷：190引用：21難度：0.7

  解析

• 5．已知G為△ABC的重心（三條中線的交點），

  ∠

  BAC

  =

  2

  π

  3

  ，

  AB

  ?

  AC

  =

  -

  2

  ，則

  |

  AG

  |

  的最小值為（　　）

  A． 1 3

  B． 4 3

  C． 2 3

  D． 3 4
  組卷：198引用：5難度：0.6

  解析

• 6．在我國古代的數學名著《九章算術》中，塹堵指底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱，鱉臑指的是四個面均為直角三角形的三棱錐．如圖，在塹堵ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AB=2，AA₁=4，當鱉臑A₁-ABC的體積最大時，直線B₁C與平面ABB₁A₁所成角的正弦值為（　　）

  A． 34 6

  B． 3 10 10

  C． 2 6

  D． 10 10
  組卷：151引用：4難度：0.5

  解析

• 7．如圖，平面四邊形A、B、C、D，已知∠DCA=45°，∠CDB=∠ADB=30°，

  CD

  =

  （

  6

  +

  2

  ）

  ，∠ACB=60°，則A、B兩點的距離是（　　）

  A． 4 3

  B． 10

  C． 6 2

  D． 2 10
  組卷：26引用：6難度：0.5

  解析

四、解答題

• 21．已知雙曲線C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞0，b＞0）的離心率為

  5

  2

  ，右頂點A到C的一條漸近線的距離為

  2

  5

  5

  ．
  （1）求C的方程；
  （2）D，E是y軸上兩點，以DE為直徑的圓M過點B（-3，0），若直線DA與C的另一個交點為P，直線EA與C的另一個交點為Q，試判斷直線PQ與圓M的位置關系，并說明理由．
  組卷：169引用：6難度：0.2

  解析

• 22．已知函數f（x）=（lnx-2x+a）lnx.
  （1）當a=2時，求f（x）的單調性；
  （2）若

  f

  （

  x

  ）

  ≤

  e

  x

  x

  -

  x

  2

  +

  ax

  -

  a

  ，求實數a的取值范圍．
  組卷：138引用：5難度：0.1

  解析