2010年數學奧林匹克模擬試卷（11）

一、選擇題（共6小題，每小題4分，滿分24分）

• 1．某校學生100人參加數學競賽，其中至少有女生9人，又知參賽者中任何10人中至少有1名男生，則參賽男生人數為（　　）

  A．89

  B．91

  C．82

  D．63
  組卷：106引用：2難度：0.9

  解析

• 2．方程組

  xy + yz = 63

  xz + yz = 23

  的正整數解的組數是（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  組卷：401引用：5難度：0.5

  解析

• 3．在△ABC中，AB=AC=7，BC=4，點M在AB上，且BM=

  1

  3

  AB，過M作EF⊥BC，交BC于E，交CA延長線于F，則EF的長為（　　）

  A． 5 5

  B． 5 33 3

  C． 4 5

  D． 6 5
  組卷：103引用：1難度：0.9

  解析

• 4．若方程（x-1）（x²-2x+m）=0的三根是一個三角形三邊的長，則實數m的取值范圍是（　　）

  A．0≤m≤1

  B．m≥ 3 4

  C． 3 4 ＜m≤1

  D． 3 4 ≤m≤1
  組卷：1435引用：14難度：0.6

  解析

三、解答題（共3小題，滿分56分）

• 12．以a,b,c為三邊的直角三角形的周長的數值與面積的數值相等，且a,b,c為自然數，求證：關于x的方程x²-（a+b+c）x+abc=0無實數根．
  組卷：88引用：1難度：0.5

  解析

• 13．是否可能將正整數1，2，3，…64分別填入8×8的正方形的64個小方格內，使得形如圖（方向可以任意轉置）的任意四個小方格內數總能被5整除，試說明理由．
  組卷：79引用：1難度：0.1

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