2023-2024學年北京五中高三（上）期中數學試卷

一．選擇題：共10小題，每小題0分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．

• 1．已知集合P={x|x²≤4}，M={m}，若P∩M=M，則m的取值范圍是（　　）

  A．（-∞，-2]	B．[-2，2]
  C．[2，+∞）	D．（-∞，-2]∪[2，+∞）
  組卷：631引用：5難度：0.7

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• 2．已知m,n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（　　）

  A．若m∥α，n∥α，則m∥n	B．若m∥α，m∥β，則α∥β
  C．若α⊥β，m⊥β，m?α，則m∥α	D．若α⊥β，m?α，則m⊥β
  組卷：283引用：6難度：0.8

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• 3．下列函數中，既是偶函數，又在區間（0，+∞）上單調遞增的是（　　）

  A．y=x3	B．y=-x2+1
  C．y=log2x	D． y = 2 x ， x ≥ 0 2 - x ， x ＜ 0
  組卷：28引用：2難度：0.5

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• 4．已知直線l₁：mx+2y-1=0與直線l₂：x+（m-1）y-m=0平行，則m的值為（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  組卷：89引用：3難度：0.8

  解析

• 5．已知圓O：x²+y²=1，直線3x+4y-10=0上動點P，過點P作圓O的一條切線，切點為A，則|PA|的最小值為（　　）

  A．1

  B． 2

  C． 3

  D．2
  組卷：1191引用：11難度：0.8

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• 6．關于函數f（x）=sinx-xcosx,下列說法正確的是（　　）

  A．f（x）是偶函數

  B．0是f（x）的極值點

  C．f（x）在 （ - π 2 ， π 2 ） 上有且僅有1個零點

  D．f（x）的值域是[-1，1]
  組卷：153引用：2難度：0.5

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• 7．《九章算術》卷五商功中有如下描述：今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈．意思為：今有底面為矩形的屋脊狀的幾何體，下底面寬3丈，長4丈，上棱長2丈，高1丈．現有一芻甍，如圖所示，則該芻甍的體積為（　　）

  A．5立方丈

  B．20立方丈

  C．40立方丈

  D．80立方丈
  組卷：87引用：3難度：0.7

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三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．

• 20．已知函數f（x）=

  lnx

  （

  x

  +

  a

  ）

  2

  ，其中a為常數．
  （1）若a=0，求函數f（x）的極值；
  （2）若函數f（x）在（0，-a）上單調遞增，求實數a的取值范圍；
  （3）若a=-1，設函數f（x）在（0，1）上的極值點為x₀，求證：f（x₀）＜-2．
  組卷：1270引用：6難度：0.5

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• 21．對于向量X₀=（a₀，b₀，c₀），若a₀，b₀，c₀三數互不相等，令向量X_i+1=（a_i+1，b_i+1，c_i+1），其中a_i+1=|a_i-b_i|，b_i+1=|b_i-c_i|，c_i+1=|c_i-a_i|，i=0，1，2，3，?．
  （1）當X₀=（5，2，1）時，試寫出向量X₁₀₀；
  （2）證明：對于任意的i∈N，向量X_i中的三個數a_i，b_i，c_i至多有一個為0；
  （3）若a₀，b₀，c₀∈N，證明：存在正整數t,使得X_t=X_t+3．
  組卷：62引用：3難度：0.2

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