2019-2020學年江蘇省南京十三中高一（下）周測數學試卷（5）

一、單項選擇題：本題共6小題，每小題4分，共24分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的．

• 1．已知復數z=1+i（i是虛數單位），則

  2

  z

  -z²的共軛復數是（　?。?/h2>

  A．-1+3i

  B．1+3i

  C．1-3i

  D．-1-3i
  組卷：46引用：8難度：0.9

  解析

• 2．已知如圖的每個開關都有閉合、不閉合兩種可能，則在閉合其中3個開關的情況下，電路從P到Q接通的情況有（　?。?/h2>

  A．8種

  B．10種

  C．16種

  D．24種
  組卷：33引用：1難度：0.9

  解析

• 3．從1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個數字中任取兩個，其中一個作為底數，另一個作為真數，則可以得到不同對數值的個數為（　　）

  A．64

  B．56

  C．53

  D．51
  組卷：317引用：6難度：0.9

  解析

• 4．設a∈Z，且0≤a＜13，若51²⁰²⁰+a能被13整除，則a=（　?。?/h2>

  A．0

  B．1

  C．11

  D．12
  組卷：435引用：7難度：0.7

  解析

• 5．若函數f（x）=lnx+ax²-2在區間（

  1

  2

  ，2）內存在單調遞增區間，則實數a的取值范圍是（　?。?/h2>

  A．（-∞，-2]

  B．（- 1 8 ，+∞）

  C．（-2，- 1 8 ）

  D．（-2，+∞）
  組卷：2242難度：0.9

  解析

四、解答題：本題共4小題，共52分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．

• 15．為了監控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）．根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態下生產的零件的尺寸服從正態分布N（μ，σ²）．
  （1）假設生產狀態正常，記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件數，求P（X≥1）及X的數學期望；
  （2）一天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查．
  （?。┰囌f明上述監控生產過程方法的合理性；
  （ⅱ）下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：
  

  9.95	10.12	9.96	9.96	10.01	9.92	9.98	10.04
  10.26	9.91	10.13	10.02	9.22	10.04	10.05	9.95

  經計算得

  x

  =

  1

  16

  16

  ∑

  i

  =

  1

  x

  i

  =9.97，s=

  1

  16

  16

  ∑

  i

  =

  1

  （

  x

  i

  -

  x

  ）

  2

  =

  1

  16

  （

  16

  ∑

  i

  =

  1

  x

  i

  2

  -

  16

  x

  2

  ）

  ≈0.212，其中x_i為抽取的第i個零件的尺寸，i=1，2，…，16．
  用樣本平均數

  x

  作為μ的估計值

  ?

  μ

  ，用樣本標準差s作為σ的估計值

  ?

  σ

  ，利用估計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查？剔除（μ-3σ，μ+3σ）之外的數據，用剩下的數據估計μ和σ（精確到0.01）．
  附：若隨機變量Z服從正態分布N（μ，σ²），則P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.9974¹⁶≈0.9592，

  0

  .

  008

  ≈0.09．
  組卷：10117難度：0.5

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• 16．已知函數f（x）=ax-lnx（a∈R）．
  （1）當a=1時，求f（x）的最小值；
  （2）若存在x∈[1，3]，使得

  f

  （

  x

  ）

  x

  2

  +lnx=2成立，求a的取值范圍；
  （3）若對任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（

  1

  x

  ）成立，求a的取值范圍．
  組卷：113引用：2難度：0.1

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