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2022-2023學年湖南省長沙一中高一（下）第一次段考數學試卷

發布：2024/7/9 8:0:8

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1．已知集合A={x|x²+x-6＞0}，B={x|0＜x＜6}，則（?_RA）∩B=（　　）
A．[-3，2] B．（0，2] C．[0，2） D．（-2，6）
組卷：180引用：3難度：0.8
解析
2．已知
sinα
=
3
5
，則
cos
（
α
-
7
π
2
）
=（　　）
A．
3
5
B．
-
3
5
C．
4
5
D．
-
4
5
組卷：241引用：2難度：0.8
解析
3．下列四個函數中，以π為最小周期，且在區間
（
π
2
，
π
）
上單調遞減的是（　　）
A．y=|sinx| B．y=cosx C．y=tanx D．
y
=
cos
x
2
組卷：97引用：1難度：0.6
解析
4．函數
f
（
x
）
=
1
+
cosx
（
x
∈
（
π
3
，
4
π
）
）
的圖象與直線y=t（t為常數）的交點最多有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
組卷：70引用：2難度：0.7
解析
5．已知向量
a
、
b
不共線，且
c
=
x
a
+
b
，
d
=
a
+
（
2
x
-
1
）
b
，若
c
與
d
共線，則實數x的值為（　　）
A．1 B．
-
1
2
C．1或
-
1
2
D．-1或
-
1
2
組卷：621引用：10難度：0.7
解析
6．下列命題：①若
|
a
|
=
|
b
|
，則
a
=
b
；
②若
a
=
b
，
b
=
c
，則
a
=
c
；
③
a
=
b
的充要條件是
|
a
|
=
|
b
|
且
a
∥
b
；
④若
a
∥
b
，
b
∥
c
，則
a
∥
c
；
⑤若A、B、C、D是不共線的四點，則
AB
=
DC
是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件．
其中，真命題的個數是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
組卷：766引用：6難度：0.7
解析
7．如圖所示，已知正方形ABCD的邊長為
1
，
AB
=
a
，
BC
=
b
，
AC
=
c
，則向量
a
-
b
-
c
的模為（　　）
A．
2
B．2 C．
2
2
D．4
組卷：129引用：2難度：0.7
解析

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四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

21．求解下列問題：
（1）求證：
sin
2
α
=
2
tanα
1
+
ta
n
2
α
，
cos
2
α
=
1
-
ta
n
2
α
1
+
ta
n
2
α
；
（2）已知
α
∈
（
π
，
3
π
2
）
，
cosα
=
-
5
13
，
tan
β
2
=
1
2
，求
cos
（
α
2
+
β
）
．
組卷：165引用：2難度：0.5
解析
22．懸鏈線（Catenary）指的是一種曲線，指兩端固定的一條（粗細與質量分布）均勻，柔軟（不能伸長）的鏈條，在重力的作用下所具有的曲線形狀，適當選擇坐標系后，懸鏈線的方程是一個雙曲余弦函數，其解析式為
f
（
x
）
=
e
x
+
e
-
x
2
，與之對應的函數
g
（
x
）
=
e
x
-
e
-
x
2
稱為雙曲正弦函數，令
F
（
x
）
=
g
（
x
）
f
（
x
）
．
（1）若關于x的方程F[f（2x）]+F[2λg（x）-5]=0在（0，ln3）上有解，求實數λ的取值范圍；
（2）把區間（0，2）等分成2n（n∈N^*）份，記等分點的橫坐標依次為x_i，i=1、2、3、?、2n-1（n∈N^*），設
h
（
x
）
=
4
3
-
2
2
x
-
1
+
1
，記
H
（
x
）
=
h
（
x
1
）
+
h
（
x
2
）
+
h
（
x
3
）
+
?
+
h
（
x
2
n
-
1
）
（
n
∈
N
*
）
，是否存在正整數n,使不等式
F
（
2
x
）
F
（
x
）
≥
H
（
n
）
有解？若存在，求出所有n的值，若不存在，說明理由．
組卷：35引用：2難度：0.4
解析