2023-2024學年江蘇省常州市金壇區高一（上）期中數學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

• 1．已知命題p：?x∈R，x²+x＜0，則￢p是（　　）

  A．?x∈R，x2+x＞0	B．?x∈R，x2+x≥0
  C．?x∈R，x2+x＞0	D．?x∈R，x2+x≥0
  組卷：160引用：8難度：0.8

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• 2．下列函數中值域為[0，+∞）的是（　　）

  A． y = x

  B． y = - 1 x

  C．y=5x+3

  D．y=x2+1
  組卷：175引用：1難度：0.7

  解析

• 3．已知a,s,t都是正實數，且a≠1，下列運算一定正確的是（　　）

  A．as+at=as+t

  B．asat=as+t

  C．loga s+logat=loga（s+t）

  D．logas?logat=loga（st）
  組卷：309引用：2難度：0.9

  解析

• 4．已知函數f（x）=

  8 x , x ≥ 0

  f （ x + 3 2 ） ， x ＜ 0

  ，則f（-4）=（　　）

  A．2

  B．4

  C．6

  D．8
  組卷：7引用：4難度：0.8

  解析

• 5．已知關于x的方程2kx²-2x-5k-1=0的兩個實數根一個小于1，另一個大于1，則實數k的取值范圍是（　　）

  A．（0，+∞）	B．（-∞，-1）
  C．（-1，0）	D．（-∞，-1）∪（0，+∞）
  組卷：580引用：5難度：0.7

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• 6．已知a,b,c∈R，則下列四個命題正確的個數是（　　）
  ①若ac²＞bc²，則a＞b；
  ②若|a-2|＞|b-2|，則（a-2）²＞（b-2）²
  ③若a＞b＞c＞0，則

  a

  b

  ＞

  a

  +

  c

  b

  +

  c

  ；
  ④若a＞0，b＞0，a+b＞4，ab＞4，則a＞2，b＞2．

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  組卷：144引用：8難度：0.7

  解析

• 7．在下列選項中，滿足p與q等價的是（　　）

  A．已知實數x,p： 1 x ＜1和q：x＞1

  B．已知實數x、y,p：（x-1）2+（y-2）2=0和q：（x-1）（y-2）=0

  C．已知實數a、b,p： | a + b | | a | + | b | ≤1和q：a2+b2≠0

  D．已知a1，b1，c1，a2，b2，c2均為非零實數，不等式a1x2+b1x+c1＞0和不等式a2x2+b2x+c2＞0的實數解集分別為M和N，P： a 1 a 2 = b 1 b 2 = c 1 c 2 和q：M=N
  組卷：8引用：1難度：0.8

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四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

• 21．某天數學課上，你突然驚醒，發現黑板上有如下內容：
  例：求x³-3x,x∈[0，+∞）的最小值．
  解：利用基本不等式a+b+c≥3

  3

  abc

  ，得到x³+1+1≥3x,于是x³-3x=x³+1+1-3x-2≥3x-3x-2=-2，當且僅當x=1時，取到最小值-2．
  （1）老師請你模仿例題，研究x⁴-4x,x∈[0，+∞）上的最小值；
  （提示：a+b+c+b≥4

  4

  abcd

  ）
  （2）研究：若

  1

  9

  x³-3x在x∈[0，+∞）上的最小值恰是m+

  8

  m

  的最大值，試求實數m的取值范圍．
  組卷：31引用：1難度：0.5

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• 22．對于定義域為I的函數，如果存在區間[m,n]?I，同時滿足下列兩個條件：
  ①f（x）在區間[m,n]上是單調的；
  ②當定義域是[m,n]時，f（x）的值域也是[m,n]．則稱[m,n]是函數y=f（x）的一個“理想區間”．
  （1）請證明：函數y=1-

  2

  x

  （x＞0）不存在“理想區間”；
  （2）已知函數y=x²-6x+12在R上存在“理想區間”，請求出它的“理想區間”；
  （3）如果[m,n]是函數y=

  （

  a

  2

  +

  a

  ）

  x

  -

  2

  a

  2

  x

  （a≠0）的一個“理想區間”，請求出n-m的最大值．
  組卷：59引用：4難度：0.5

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