2008-2009學年高三（上）數學寒假作業（理科）

一、填空題（共200小題，每小題5分，滿分1000分）

• 1．化簡（cos225°+isin225°）²（其中i為虛數單位）的結果為

  ．
  組卷：14引用：2難度：0.9

  解析

• 2．設A，B是x軸上的兩點，點P的橫坐標為2，且|PA|=|PB|，若直線PA的方程為x-y+1=0，則直線PB的方程是

  ．
  組卷：420引用：14難度：0.5

  解析

• 3．已知{（x,y）|（m+3）x+y=3m-4}∩{（x,y）|7x+（5-m）y-8=0}=?，則直線（m+3）x+y=3m+4與坐標軸圍成的三角形面積是

  ．
  組卷：64引用：4難度：0.7

  解析

• 4．將直線

  x

  +

  3

  y

  =

  0

  繞原點按順時針方向旋轉30°，所得直線與圓（x-2）²+y²=3的位置關系是

  ．
  組卷：27引用：3難度：0.7

  解析

• 5．直線

  y

  =

  3

  x

  +

  2

  m

  和圓x²+y²=n²相切，其中m、n∈N*，|m-n|≤5，試寫出所有滿足條件的有序實數對（m,n）：

  ．
  組卷：66引用：3難度：0.7

  解析

• 6．已知回歸直線斜率的估計值為1.2，樣本點的中心為（4，5），則回歸直線方程為

  ．
  組卷：37引用：6難度：0.7

  解析

• 7．已知a、b為兩條不同的直線，α、β為兩個不同的平面，且a⊥α，b⊥β，則下列命題中假命題的有

  ．
  ①若a∥b,則α∥β；②若α⊥β，則a⊥b；③若a、b相交，則α、β相交；④若α、β相交，則a,b相交．
  組卷：23引用：4難度：0.7

  解析

• 8．已知三棱錐O-ABC中，OA、OB、OC兩兩垂直，OC=2x,OA=x,OB=y且x+y=3，則三棱錐O-ABC的體積最大時，其外接球的體積為

  ．
  組卷：62引用：3難度：0.5

  解析

• 9．若實數x、y滿足

  （ x - y + 6 ） （ x + y - 6 ） ≥ 0

  1 ≤ x ≤ 4

  ，則

  y

  x

  的最大值是

  ．
  組卷：1引用：3難度：0.7

  解析

• 10．已知點P（a,b）與點Q（1，0）在直線2x-3y+1=0的兩側，則下列說法正確的是

  ．
  ①2a-3b+1＞0；
  ②a≠0時，

  b

  a

  有最小值，無最大值；
  ③?M∈R⁺，使

  a

  2

  +

  b

  2

  ＞M恒成立；
  ④當a＞0且a≠1，b＞0時，則

  b

  a

  -

  1

  的取值范圍為（-∞，-

  1

  3

  ）∪（

  2

  3

  ，+∞）．
  組卷：198引用：17難度：0.7

  解析

• 11．若z∈C且（3+z）i=1（i為虛數單位），則z=

  ．
  組卷：136引用：7難度：0.9

  解析

• 12．已知A={x|x-1＞a²}，B={x|x-4＜2a}，若A∩B≠?，則實數a的取值范圍是

  ．
  組卷：124引用：4難度：0.9

  解析

• 13．任意兩正整數m、n之間定義某種運算⊕，m⊕n=

  m + n	（ m 與 n 同奇偶 ）
  mn	（ m 與 n 異奇偶 ）

  ，則集合M={（a,b）|a⊕b=36，a、b∈N^*}中元素的個數是

  ．
  組卷：37引用：2難度：0.9

  解析

• 14．設[x]表示不超過x的最大整數，則不等式[x]²-3[x]-10≤0的解集是

  ．
  組卷：19引用：3難度：0.9

  解析

• 15．已知數列{a_n}的前n項和S_n=n²+2n-1，則a₁+a₃+a₅+…+a₂₅=

  ．
  組卷：44引用：12難度：0.7

  解析

• 16．已知一個幾何體的主視圖及側視圖均是邊長為2的正三角形，俯視圖是直徑為2的圓，則此幾何體的外接球的表面積為

  ．
  組卷：20引用：9難度：0.7

  解析

• 17．已知△ABC的三個頂點A、B、C及△ABC所在平面內的一點P，

  PA

  +

  PB

  +

  PC

  =

  0

  ，若實數λ滿足

  AB

  +

  AC

  =

  λ

  AP

  ，則實數λ等于

  ．
  組卷：199引用：2難度：0.9

  解析

• 18．函數f（x）=tanx在點（

  π

  4

  ，1）處的切線斜率是

  ．
  組卷：5引用：2難度：0.9

  解析

• 19．給出下列四個命題：①命題“?x∈R，x²≥0”的否定是“?x∈R，x²≤0”；②若a,b∈[0，1]，則不等式

  a

  2

  +

  b

  2

  ＜

  1

  4

  成立的概率是

  π

  4

  ；③函數y=log₂（x²-ax+2）在[2，+∞）上恒為正，則實數a的取值范圍是

  （

  -

  ∞

  ，

  5

  2

  ）

  ．其中真命題的序號是

  ．（填上所有真命題的序號）
  組卷：104引用：6難度：0.7

  解析

• 20．如果一條直線與一個平面垂直，則稱此直線與平面構成一個“正交線面對”．在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數是

  ．
  組卷：450引用：16難度：0.7

  解析

• 21．已知M={y|y=x²}，N={y|x²+y²=2}，則M∩N=

  ．
  組卷：228引用：11難度：0.9

  解析

• 22．函數

  y

  =

  lo

  g

  1

  2

  （

  x

  2

  -

  3

  x

  +

  2

  ）

  的增區間是

  ．
  組卷：740引用：25難度：0.7

  解析

• 23．若點P（cosα，sinα）在直線y=-2x上，則sin2α+2cos2α=

  ．
  組卷：85引用：16難度：0.7

  解析

• 24．已知函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  lo

  g

  1

  2

  （

  x

  +

  1

  x

  ）

  ，給出以下四個命題：
  ①f（x）的定義域為（0，+∞）；
  ②f（x）的值域為[-1，+∞）；
  ③f（x）是奇函數；
  ④f（x）在（0，1）上單調遞增．其中所有真命題的序號是

  ．
  組卷：56引用：5難度：0.7

  解析

• 25．某服裝店同時賣出兩套服裝，賣出價為168元/套，以成本計算一套盈利20%，而另一套虧20%，則該店

  ．（賺或賠多少錢）．
  組卷：44引用：6難度：0.7

  解析

• 26．若方程x+log₄x=7的解所在區間是（n,n+1）（n∈N^*），則n=

  ．
  組卷：57引用：5難度：0.7

  解析

• 27．已知函數f（x）=-x²+ax+b²-b+1（a∈R，b∈R），對任意實數x都有f（1-x）=f（1+x）成立，若當x∈[-1，1]時，f（x）＞0恒成立，則b的取值范圍是

  ．
  組卷：112引用：7難度：0.7

  解析

• 28．已知直線l、m,平面α、β，則下列命題中是真命題的序號是

  ．
  ①若α∥β，l?α，則l∥β；②若α∥β，l⊥α，則l⊥β；③若l∥α，m?α，則l∥m；④若α⊥β，α∩β=l,m?α，m⊥l,則m⊥β．
  組卷：37引用：3難度：0.7

  解析

• 29．與曲線

  x

  2

  24

  +

  y

  2

  49

  =

  1

  共焦點并且與曲線

  x

  2

  36

  -

  y

  2

  64

  =

  1

  共漸近線的雙曲線方程為

  ．
  組卷：393引用：6難度：0.7

  解析

• 30．已知函數①f（x）=3lnx；②f（x）=3e^cosx；③f（x）=3e^x；④f（x）=3cosx.其中對于f（x）定義域內的任意一個自變量x₁都存在唯一個個自變量x₂，使

  f

  （

  x

  1

  ）

  f

  （

  x

  2

  ）

  =

  3

  成立的函數序號是

  ．
  組卷：76引用：13難度：0.7

  解析

• 31．已知

  a

  、

  b

  為任意非零向量，有下列命題：①|

  a

  |=|

  b

  |；②

  a

  ²=

  b

  ²；③若

  a

  ²=

  a

  ?

  b

  ，其中可以作為

  a

  =

  b

  的必要不充分條件的命題是

  ．（填寫序號）．
  組卷：6引用：2難度：0.9

  解析

• 32．已知等差數列{a_n}的公差d≠0，且a₁，a₃，a₉成等比數列，則

  a

  1

  +

  a

  3

  +

  a

  9

  a

  2

  +

  a

  4

  +

  a

  10

  的值是

  ．
  組卷：2707引用：56難度：0.5

  解析

• 33．已知點（x,y）在拋物線y²=4x上，則

  x

  2

  +

  1

  2

  y

  2

  +

  3

  的最小值是

  ．
  組卷：47引用：8難度：0.7

  解析

• 34．奇函數f（x）=ax³+bx²+cx在x=1處有極值，則3a+b+c的值為

  ．
  組卷：125引用：8難度：0.9

  解析

• 35．下列對于函數y=sinx+cosx的命題中，正確命題的序號為

  ．
  ①存在

  α

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  2

  ）

  ，使

  f

  （

  α

  ）

  =

  4

  3

  ；②存在

  α

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  2

  ）

  ，使f（x+α）=f（x+3α）；③存在θ∈R使函數f（x+θ）的圖象關于y軸對稱；④函數f（x）的圖象關于點

  （

  3

  4

  π

  ，

  0

  ）

  對稱．
  組卷：25引用：2難度：0.9

  解析

• 36．已知M是以F₁，F₂為焦點的橢圓

  x

  2

  7

  +

  y

  2

  3

  =

  1

  上的一點，O是坐標原點，若2MO=F₁F₂，則△F₁MF₂的面積是

  ．
  組卷：50引用：2難度：0.9

  解析

• 37．已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，M，N分別是A₁B₁，AB的中點，P點在線段B₁C上，則NP與平面AMC₁的位置關系是

  ．
  組卷：150引用：2難度：0.9

  解析

• 38．以拋物線y²=4x的焦點為圓心、2為半徑的圓，與過點A（-1，3）的直線l相切，則直線l的方程是

  ．
  組卷：24引用：6難度：0.7

  解析

• 39．若關于x的不等式組

  x 2 - x - 2 ＞ 0

  2 x 2 + （ 2 k + 5 ） x + 5 k ＜ 0

  的整數解集為{-2}，則實數k的取值范圍是

  ．
  組卷：727引用：14難度：0.5

  解析

• 40．設一雙曲線的兩條漸近線方程為2x-y=0，2x+y=0，則雙曲線的離心率是

  ．
  組卷：65引用：2難度：0.9

  解析

• 41．一組數據中的每一個數據都減去8，得到新數據，若求得新數據的平均數是1.2，則原來的數據的平均數是

  ．
  組卷：14引用：2難度：0.9

  解析

• 42．若命題甲：

  （

  1

  2

  ）

  x

  ，

  2

  2

  x

  ，

  2

  x

  成等比數列；命題乙：lgx,lg（x+1），lg（x+3）成等差數列，則甲是乙的

  條件．
  組卷：11引用：2難度：0.9

  解析

• 43．為了了解某地區高三學生的身體發育情況，抽查了該地區100名年齡為17歲～18歲的男生體重（kg），得到頻率分布直方圖如下．根據下圖可得這100名學生中體重在[56.5，64.5]的學生人數是

  ．
  
  組卷：59引用：35難度：0.7

  解析

• 44．給定兩個向量

  a

  =（3，4），

  b

  =（2，1），若（

  a

  +x

  b

  ）⊥（

  a

  -

  b

  ），則x的值等于

  ．
  組卷：110引用：7難度：0.7

  解析

• 45．如圖，是計算

  1

  +

  1

  3

  +

  1

  5

  +

  …

  +

  1

  2009

  的流程圖，判斷框應填的內容是

  ，處理框應填的內容是

  ．
  組卷：7引用：2難度：0.9

  解析

• 46．函數

  y

  =

  |

  lo

  g

  1

  2

  x

  |

  的定義域為[a,b]，值域為[0，2]，則區間[a,b]的長b-a的最大值是

  ．
  組卷：32引用：3難度：0.9

  解析

• 47．如圖，M是半徑為R的圓周上一個定點，在圓周上等可能地任取一點N，連接MN，則弦MN的長度超過

  2

  R的概率是

  ．
  組卷：31引用：6難度：0.7

  解析

• 48．考察下列一組不等式：

  2 3 + 5 3 ＞ 2 2 × 5 + 2 × 5 2

  2 4 + 5 4 ＞ 2 3 × 5 + 2 × 5 3

  2 5 2 + 5 5 2 ＞ 2 2 × 5 1 2 + 2 1 2 × 5 2

  …

  ，將上述不等式在左右兩端視為兩項和的情況下加以推廣，使以上的不等式成為推廣不等式的特例，則推廣的不等式為

  ．
  組卷：22引用：10難度：0.7

  解析

• 49．i是虛數單位，計算

  1

  -

  i

  1

  +

  i

  +

  1

  +

  i

  1

  -

  i

  =

  ．
  組卷：5引用：2難度：0.9

  解析

• 50．三直線ax+2y-1=0，3x+y+1=0，2x-y+1=0不能圍成一個三角形，則實數a的取值范圍是

  ．
  組卷：472引用：5難度：0.7

  解析

• 51．給出下列條件：①ab＞0；②a＞0，b＞0；③a＜0，b＜0；④ab＜0．能使不等式

  b

  a

  +

  a

  b

  ≥

  2

  成立的條件序號是

  ．
  組卷：28引用：2難度：0.7

  解析

• 52．等比數列{a_n}的公比q＞1，且a₁＞0，若a₂a₄+a₄a₁₀-a₄a₆-a₅²=9，則a₃-a₇=

  ．
  組卷：14引用：2難度：0.7

  解析

• 53．在△ABC中，tanA是以-4為第三項，4為第七項的等差數列的公差，tanB是以

  1

  3

  為第三項，9為第六項的等比數列的公比，則C=

  ．
  組卷：6引用：2難度：0.7

  解析

• 54．函數f（x）=x³-3x+1在閉區間[-3，0]上的最大值、最小值分別是

  ．
  組卷：57引用：16難度：0.7

  解析

• 55．設A，B，C，D是空間不共面的四點，且滿足

  AB

  ?

  AC

  =

  0

  ，

  AC

  ?

  AD

  =

  0

  ，

  AB

  ?

  AD

  =

  0

  ，則△BCD是

  三角形
  組卷：48引用：5難度：0.5

  解析

• 56．在面積為2的等腰直角三角形ABC中（A為直角頂點），

  AB

  ?

  BC

  =

  ．
  組卷：2引用：2難度：0.7

  解析

• 57．雙曲線

  x

  2

  16

  -

  y

  2

  9

  =

  1

  上的點P到點（5，0）的距離為8.5，則點P到點（-5，0）的距離為

  ．
  組卷：355引用：5難度：0.7

  解析

• 58．已知全集為R，對a＞b＞0，集合M={x|b＜x＜

  a

  +

  b

  2

  }，N={x|

  ab

  ＜x＜a}，則M∩?_RN=

  ．
  組卷：41引用：4難度：0.7

  解析

• 59．若關于x不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0恒成立，則a的取值范圍是

  ．
  組卷：198引用：13難度：0.5

  解析

• 60．若y=f（x）是R上的函數，則函數y=f（2x）與y=f（1-2x）的圖象關于直線

  對稱．
  組卷：95引用：2難度：0.7

  解析

• 61．已知函數y=f（x）是奇函數，當x＜0時，f（x）=x²+ax（a∈R），f（2）=6，則a=

  ．
  組卷：75引用：17難度：0.7

  解析

• 62．在等比數列{a_n}中，a₂a₁₀=6，a₂+a₁₀=5，則

  a

  18

  a

  10

  =

  ．
  組卷：14引用：2難度：0.7

  解析

• 63．在△ABC中，若3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，則sinC=

  ．
  組卷：23引用：3難度：0.7

  解析

• 64．若a,b∈（0，+∞），且a+b=ab,則a²+b²的最小值是

  ．
  組卷：19引用：2難度：0.7

  解析

• 65．已知復數z₁=2+i,z₂=1+2i在復平面內對應的點分別為A，B，向量

  AB

  對應的復數為z,則在復平面內z所對應的點在第

  象限．
  組卷：23引用：3難度：0.7

  解析

• 66．如圖所示，在兩個圓盤中，指針在本圓盤每個數所在區域的機會均等，那么兩個指針同時落在奇數所在區域的概率是

  ．
  組卷：21引用：6難度：0.7

  解析

• 67．已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，若

  OB

  =a₁

  OA

  +a₂₀₀₉

  OC

  ，且A，B，C三點共線（O為該直線外一點），則S₂₀₀₉=

  ．
  組卷：152引用：5難度：0.7

  解析

• 68．若函數f（x）=x³-3x+a有3個不同的零點，則實數a的取值范圍是

  ．
  組卷：100引用：34難度：0.7

  解析

• 69．一個路口，紅燈、黃燈、綠燈亮的時間依次為30s,5s,40s,車輛到達路口，遇到黃燈或綠燈的概率為

  ．
  組卷：3引用：2難度：0.7

  解析

• 70．在平面內，如果用一條直線去截正方形的一個角，那么截下的一個直角三角形按圖1所標邊長，由勾股定理有：c²=a²+b²．設想正方形換成正方體，把截線換成如圖2所示的截面，這時從正方體上截下三條側棱兩兩垂直的三棱錐O-LMN，如果用S₁，S₂，S₃表示三個側面面積，S₄表示截面面積，那么你類比得到的結論是

  ．
  
  組卷：55引用：28難度：0.7

  解析

• 71．若使集合M={x|ax²+2x+a=0，a∈R}中有且只有一個元素的所有a的值組成集合N，則N=

  ．
  組卷：40引用：2難度：0.7

  解析

• 72．已知集合M={

  b

  3

  ，8}，N={a^b，1}，f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍為x,則a+b的值為
  組卷：19引用：3難度：0.9

  解析

• 73．已知

  i

  =（1，0），

  j

  =（0，1）則

  i

  -2

  j

  與2

  i

  +

  j

  的夾角為
  組卷：9引用：2難度：0.7

  解析

• 74．點P（1，-2，4）關于點A（1，-1，a）的對稱點是Q（b,c,-2），則a+b+c=

  ．
  組卷：29引用：2難度：0.7

  解析

• 75．設f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，且

  f

  （

  x

  y

  ）

  =

  f

  （

  x

  ）

  -

  f

  （

  y

  ）

  ，若f（2）=1，則f（4）=

  ．
  組卷：3引用：2難度：0.7

  解析

• 76．設全集

  U

  =

  R

  ，

  M

  =

  {

  x

  |

  y

  =

  x

  2

  -

  4

  }

  ，

  N

  =

  {

  x

  |

  2

  x

  -

  1

  ≥

  1

  }

  都是U的子集（如圖所示），則陰影部分所示的集合是

  ．
  組卷：28引用：2難度：0.7

  解析

• 77．已知G是△ABC的重心，過G的一條直線交AB、AC兩點分別于E、F，且有

  AE

  =

  λ

  AB

  ，

  AF

  =

  μ

  AC

  ，則

  1

  λ

  +

  1

  μ

  =

  ．
  組卷：58引用：2難度：0.7

  解析

• 78．已知等差數列{a_n}中，a₁+a₂+a₃=3，若前n項和為18，且a_n-2+a_n-1+a_n=1，則n=

  ．
  組卷：31引用：2難度：0.5

  解析

• 79．若t＞4，則函數f（x）=cos2x+tsinx-t的最大值是

  ．
  組卷：8引用：2難度：0.7

  解析

• 80．已知P是直線3x+4y+8=0上的動點，PA，PB是圓x²+y²-2x-2y+1=0的兩條切線，A，B是切點，C是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值為

  ．
  組卷：2243引用：45難度：0.5

  解析

二、解答題（共40小題，滿分600分）

• 239．將n²個數排成n行n列的一個數陣：
  a₁₁a₁₂a₁₃…a_1n
  a₂₁a₂₂a₂₃…a_2n
  a₃₁a₃₂a₃₃…a_3n
  …
  a_n1a_n2a_n3…a_nn
  已知a₁₁=2，a₁₃=a₆₁+1，該數陣第一列的n個數從上到下構成以m為公差的等差數列，每一行的n個數從左到右構成以m為公比的等比數列，其中m為正實數．
  （1）求第i行第j列的數a_ij；
  （2）求這n²個數的和．
  組卷：34引用：4難度：0.5

  解析

• 240．已知函數f（x）=-2x²+bx+c在x=1時有最大值1，
  （1）求f（x）的解析式；
  （2）若0＜m＜n,且x∈[m,n]時，f（x）的值域為

  [

  1

  n

  ，

  1

  m

  ]

  ．試求m,n的值．
  組卷：71引用：5難度：0.5

  解析