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2010年新課標(biāo)八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)第23講：代數(shù)證明

發(fā)布：2024/4/20 14:35:0

1．（1）求證：
x
ax
-
a
2
+
y
ay
-
a
2
+
z
az
-
a
2
=
1
x
-
a
+
1
y
-
a
+
1
z
-
a
+
3
a

（2）求證：
（
a
+
1
a
）
2
+
（
b
+
1
b
）
2
+
（
ab
+
1
ab
）
2
=
4
+
（
a
+
1
a
）
（
b
+
1
b
）
（
ab
+
1
ab
）
．
組卷：269引用：1難度：0.7
解析
2．若x+y=m+n,且x²+y²=m²+n²．求證：x²⁰⁰¹+y²⁰⁰¹=m²⁰⁰¹+n²⁰⁰¹．
組卷：283引用：3難度：0.5
解析
3．有18支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽，每個(gè)參賽隊(duì)同其他各隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)比賽，假設(shè)比賽的結(jié)果沒有平局，如果用a_i和b_i，分別表示第i（i=1，2，3…18）支球隊(duì)在整個(gè)賽程中勝與負(fù)的局?jǐn)?shù)．求證：a₁²+a₂²+…+a₁₈²=b₁²+b₂²+…+b₁₈²．
組卷：243引用：2難度：0.5
解析
4．已知ax³=by³=cz³，且
1
x
+
1
y
+
1
z
=
1
．
求證：
3
a
x
2
+
b
y
2
+
c
z
2
=
3
a
+
3
b
+
3
c
．
組卷：365引用：2難度：0.5
解析
5．已知abc≠0，證明：四個(gè)數(shù)
（
a
+
b
+
c
）
3
abc
、
（
b
-
c
-
a
）
3
abc
、
（
c
-
a
-
b
）
3
abc
、
（
a
-
b
-
c
）
3
abc
中至少有一個(gè)不小于6．
組卷：231引用：2難度：0.7
解析
6．設(shè)
p
=
a
-
b
a
+
b
，
q
=
b
-
c
b
+
c
，
r
=
c
-
a
c
+
a
，其中a+b,b+c,c+a全不為零．證明：（1+p）（1+q）（1+r）=（1-p）（1-q）（1-r）．
組卷：240引用：2難度：0.7
解析

1．（1）求證：xax-a2+yay-a2+zaz-a2=1x-a+1y-a+1z-a+3a（2）求證：（a+1a）2+（b+1b）2+（ab+1ab）2=4+（a+1a）（b+1b）（ab+1ab）．