2010年新課標七年級數學競賽培訓第18講：乘法公式

一、填空題（共10小題，每小題3分，滿分30分）

• 1．（1）已知兩個連續奇數的平方差為2000，則這兩個連續奇數可以是

  ．
  （2）已知（2000-a）（1998-a）=1999，那么（2000-a）²+（1998-a）²=

  ．
  組卷：354引用：1難度：0.9

  解析

• 2．觀察下列各式：
  （x-1）（x+1）=x²-1
  （x-1）（x²+x+1）=x³-1
  （x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1，
  根據前面各式的規律可得（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x+1）=

  （其中n為正整數）．
  組卷：2520引用：76難度：0.9

  解析

• 3．已知a²+b²+4a-2b+5=0，則

  a

  +

  b

  a

  -

  b

  =

  ．
  組卷：243引用：20難度：0.5

  解析

• 4．計算：
  （1）1.2345²+0.7655²+2.469×0.7655=

  ；
  （2）1949²-1950²+1951²-1952²+…+1997²-1998²+1999²=

  ；
  組卷：175引用：1難度：0.9

  解析

• 5．如圖是四張全等的矩形紙片拼成的圖形，請利用圖中的空白部分面積的不同表示方法，寫出一個關于a,b的恒等式

  ．
  組卷：1042引用：16難度：0.5

  解析

• 6．已知：a+

  1

  a

  =5，則

  a

  4

  +

  a

  2

  +

  1

  a

  2

  =

  ．
  組卷：1443引用：11難度：0.7

  解析

• 7．你能很快算出1995²嗎？
  為了解決這個問題，我們考查個位上的數字為5的自然數的平方，任意一個個位數為5的自然數可寫成10n+5（n為自然數），即求（10n+5）²的值，試分析n=1，n=2，n=3…這些簡單情形，從中探索其規律，并歸納猜想出結論．
  （1）通過計算，探索規律．
  15²=225可寫成100×1×（1+1）+25；25²=625可寫成100×2×（2+1）+25；35²=1225可寫成100×3×（3+1）+25；45²=2025可寫成100×4×（4+1）+25；…75²=5625可寫成

  ；85²=7225可寫成

  ．
  （2）從第（1）題的結果，歸納、猜想得（10n+5）²=

  ．
  （3）根據上面的歸納猜想，請算出1995²=

  ．
  組卷：215引用：1難度：0.5

  解析

• 8．已知x²+y²+z²-2x+4y-6z+14=0，則x+y+z=

  ．
  組卷：2346引用：9難度：0.7

  解析

• 9．（1）若x+y=10，x³+y³=100，則x²+y²=

  ．
  （2）若a-b=3，則a³-b³-9ab=

  ．
  組卷：407引用：1難度：0.5

  解析

• 10．1，2，3，…，98共98個自然數中，能夠表示成兩整數的平方差的個數是

  ．
  組卷：391引用：5難度：0.7

  解析

三、解答題（共10小題，滿分82分）

• 29．若x+y=a+b,且x²+y²=a²+b²，求證：x¹⁹⁹⁷+y¹⁹⁹⁷=a¹⁹⁹⁷+b¹⁹⁹⁷．
  組卷：825引用：2難度：0.1

  解析

• 30．（1）請觀察：25=5²，1225=35²，112225=335²，11122225=3335²…寫出表示一般規律的等式，并加以證明．
  （2）26=5²+1²，53=7²+2²，26×53=1378，1378=37²+3²．任意挑選另外兩個類似26、53的數，使它們能表示成兩個平方數的和，把這兩個數相乘，乘積仍然是兩個平方數的和嗎？你能說出其中的道理嗎？
  注：有人稱這樣的數“不變心的數”．數學中有許多美妙的數，通過分析，可發現其中的奧秘．
  瑞士數學家歐拉曾對26（2）的性質作了更進一步的推廣．他指出：可以表示為四個平方數之和的甲、乙兩數相乘，其乘積仍然可以表示為四個平方數之和．即（a²+b²+c²十d²）（e²+f²+g²+h²）=A²+B²+C²+D²．這就是著名的歐拉恒等式．
  組卷：1101引用：1難度：0.1

  解析