2022-2023學年北京理工大學附中高二（下）期中數學試卷

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。

• 1．復數

  1

  +

  i

  i

  的模為（　　）

  A． 2

  B． 3

  C．2

  D． 5
  組卷：43引用：1難度：0.8

  解析

• 2．若曲線y=x²的一條切線的斜率為4，則切點的橫坐標為（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  組卷：310引用：3難度：0.7

  解析

• 3．曲線

  x

  2

  -

  y

  2

  2

  =

  1

  的離心率為（　　）

  A． 2

  B． 3

  C．2

  D．3
  組卷：115引用：1難度：0.9

  解析

• 4．直線ax-y+2a=0（a∈R）與圓x²+y²=5的位置關系為（　　）

  A．相離

  B．相切

  C．相交

  D．不確定
  組卷：232引用：4難度：0.8

  解析

• 5．數列{a_n}的前n項和為S_n，若S_n-S_n-1=2n-1（n≥2），且S₂=3，則a₁+a₃=（　　）

  A．2

  B．3

  C．4

  D．5
  組卷：67引用：1難度：0.8

  解析

• 6．若等比數列{a_n}滿足a₁a₅=a₃，則a₃=（　　）

  A．1

  B．-1

  C．0或1

  D．-1或1
  組卷：54引用：4難度：0.9

  解析

• 7．對于函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  lnx

  的描述，下列說法正確的是（　　）

  A．函數f（x）存在唯一的零點

  B．函數f（x）在區間（0，e）上單調遞增

  C．函數f（x）在區間（e,+∞）上單調遞增

  D．函數f（x）的值域為R
  組卷：80引用：1難度：0.7

  解析

三、解答題。共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

• 20．已知函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  e

  x

  -

  a

  x

  -

  alnx

  （

  a

  ∈

  R

  ）

  ．
  （1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
  （2）求f（x）的單調區間；
  （3）當a≥e時，寫出函數f（x）的零點個數．（只需直接寫出結果）
  組卷：128引用：1難度：0.4

  解析

• 21．若對于正整數k,g（k）表示k的最大奇數因數，例如g（3）=3，g（10）=5．設

  S

  n

  =

  g

  （

  1

  ）

  +

  g

  （

  2

  ）

  +

  g

  （

  3

  ）

  +

  g

  （

  4

  ）

  +

  …

  +

  g

  （

  2

  n

  ）

  ．
  （Ⅰ）求g（6），g（20）的值；
  （Ⅱ）求S₁，S₂，S₃的值；
  （Ⅲ）求數列{S_n}的通項公式．
  組卷：57引用：3難度：0.5

  解析