2024-2025學年上海市長寧區延安中學高三（上）期中數學試卷

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）

• 1．函數y=-cos²x-sinx的值域為

  ．
  組卷：99引用：4難度：0.6

  解析

• 2．把復數z的共軛復數記作

  z

  ，i為虛數單位，若z=1+i,則（1+z）?

  z

  =

  ．
  組卷：3引用：0難度：0.7

  解析

• 3．如圖為一個開關陣列，每個開關只有“開”和“關”兩種狀態，按其中一個開關1次，將導致自身和所有相鄰（上、下相鄰或左、右相鄰）的開關改變狀態．若從這十六個開關中隨機選兩個不同的開關先后各按1次（例如：先按（1，1），再按（4，4）），則（2，3）和（4，1）的最終狀態都未發生改變的概率為

  ．
  

  （1，1）	（1，2）	（1，3）	（1，4）
  （2，1）	（2，2）	（2，3）	（2，4）
  （3，1）	（3，2）	（3，3）	（3，4）
  （4，1）	（4，2）	（4，3）	（4，4）
  組卷：85引用：9難度：0.6

  解析

• 4．在△ABC中，a²=b²+c²+bc,則A=

   

  ．
  組卷：207引用：30難度：0.7

  解析

• 5．在△ABC中，a²=b²+c²+bc,則A=

   

  ．
  組卷：30引用：6難度：0.8

  解析

• 6．已知函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  lnx

  x

  ，則函數f（x）的單調遞增區間為

   

  ．
  組卷：411引用：7難度：0.7

  解析

• 7．《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學著作，第九章“勾股”講述了勾股定理及一些應用，將直角三角形的斜邊稱為“弦”，短直角邊稱為“勾”，長直角邊稱為“股”，設點F是拋物線y²=2px（p＞0）的焦點．l是該拋物線的準線，過拋物線上一點A作準線的垂線AB，垂足為B，射線AF交準線l于點C，若Rt△ABC的“勾”|AB|=3，“股”|CB|=3

  3

  ，則拋物線的方程為

  ．
  組卷：55引用：1難度：0.6

  解析

• 8．已知集合A={1，2，3}，B={0，2，3，4}，則A∩B=

  ．
  組卷：8引用：1難度：0.7

  解析

• 9．在（1+2x）ⁿ的展開式中，x²的系數為40，則n=

  ．
  組卷：55引用：2難度：0.7

  解析

• 10．當3＜x＜12時，函數y=

  （

  x

  -

  3

  ）

  （

  12

  -

  x

  ）

  x

  的最大值為

  ．
  組卷：48引用：2難度：0.7

  解析

• 11．一袋中裝有8個產品，其中有3個是一等品，現從中隨機的取出3個，設X表示3個產品中的一等品的個數，則P{X=2}=

  ．
  組卷：0引用：0難度：0.8

  解析

• 12．函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  x + 1 ， x ＞ 0

  π ， x = 0

  0 ， x ＜ 0

  ，則f（f（-1））=

  ．
  組卷：8引用：1難度：0.8

  解析

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）

• 13．在數學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它可應用到有限維空間，并且是構成一般不動點定理的基石．簡單地講就是對于滿足一定條件的連續函數f（x），存在點x₀，使得f（x₀）=x₀，那么我們稱該函數為“不動點”函數．若函數f（x）=ae^x-x為“不動點”函數，則實數a的取值范圍是（　　）

  A． （ - ∞ ， 1 e ]

  B． （ - ∞ ， 2 e ]

  C．（-∞，1]

  D．（-∞，e]
  組卷：56引用：4難度：0.6

  解析

• 14．某科研單位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，為了調查他們的身體情況，需從中抽取一個容量為24的樣本，則應抽取的老年人人數為（　　）

  A．6

  B．10

  C．8

  D．4
  組卷：30引用：1難度：0.8

  解析

• 15．如圖，將一個邊長為1的正三角形分成四個全等的正三角形，第一次挖去中間的一個小三角形，將剩下的三個小正三角形，再分別從中間挖去一個小三角形，保留它們的邊，重復操作以上做法，得到的集合為謝爾賓斯基三角形．設A_n是第n次挖去的小三角形面積之和（如A₁是第1次挖去的中間小三角形面積，A₂是第2次挖去的三個小三角形面積之和），則前10次挖去的所有小三角形面積之和的值為（　　）
  

  A． 3 4 [ 1 - （ 3 4 ） 9 ]

  B． 3 4 [ 1 - （ 3 4 ） 10 ]

  C． 3 16 （ 3 4 ） 9

  D． 3 16 （ 3 4 ） 10
  組卷：112引用：3難度：0.6

  解析

• 16．已知空間兩不同直線m,n,兩不同平面α，β，下列命題正確的是（　　）

  A．若m∥α且n∥α，則m∥n

  B．若m⊥β且m∥n,則n∥β

  C．若m⊥α且m∥β，則α⊥β

  D．若m不垂直于α，且n?α，則m不垂直于n
  組卷：206引用：5難度：0.6

  解析

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）．

• 17．若n是一個三位正整數，且n的個位數字大于十位數字，十位數字大于百位數字，則稱n為“三位遞增數”（如146，369，567等）．
  （1）從1，2，3，4，5這五個數中，任取三個數組成一個三位遞增數，求這個數能被5整除的概率．
  （2）在某次數學趣味活動中，每位參加者需從所有的“三位遞增數”中隨機抽取1個數，且只能抽取一次．得分規則：若抽取的“三位遞增數”的三個數字之積既不能被3整除，又不能被5整除，參加者得0分；若能被3或5整除，但不能被15整除，得1分；若能被15整除，得2分．已知甲參加該活動，求甲得分X的分布列和數學期望．
  組卷：19引用：5難度：0.7

  解析

• 18．對于函數f（x），g（x），如果它們的圖象有公共點P，且在點P處的切線相同，則稱函數f（x）和g（x）在點P處相切，稱點P為這兩個函數的切點．設函數f（x）=ax²-bx（a≠0），g（x）=lnx.
  （Ⅰ）當a=-1，b=0時，判斷函數f（x）和g（x）是否相切？并說明理由；
  （Ⅱ）已知a=b,a＞0，且函數f（x）和g（x）相切，求切點P的坐標；
  （Ⅲ）設a＞0，點P的坐標為

  （

  1

  e

  ，-

  1

  ）

  ，問是否存在符合條件的函數f（x）和g（x），使得它們在點P處相切？若點P的坐標為（e²，2）呢？（結論不要求證明）
  組卷：89引用：3難度：0.1

  解析

• 19．定義：對于任意大于零的自然數n,滿足條件

  a

  n

  +

  a

  n

  +

  2

  2

  ≤

  a

  n

  +

  1

  且a_n≤M（M是與n無關的常數）的無窮數列{a_n}稱為M數列．
  （1）若等差數列{b_n}的前n項和為S_n，且b₁=-3，S₉=-18，判斷數列{b_n}是否是M數列，并說明理由；
  （2）若各項為正數的等比數列{c_n}的前n項和為T_n，且

  c

  2

  =

  1

  2

  ，

  c

  5

  =

  1

  16

  ，證明：數列{T_n}是M數列；
  （3）設數列{d_n}是各項均為正整數的M數列，求證：d_n≤d_n+1．
  組卷：203引用：4難度：0.3

  解析

• 20．已知橢圓C的中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸，

  A

  （

  -

  3

  ，

  0

  ）

  ，

  B

  （

  0

  ，

  3

  ）

  ，D（2，1）中恰有兩點在C上．
  （1）求C的標準方程；
  （2）P，Q兩點在C上，且直線DP，DQ的斜率互為相反數，直線DP，DQ分別與直線AB交于M，N兩點，證明：|DP|?|DN|=|DQ|?|DM|．
  組卷：35引用：3難度：0.5

  解析

• 21．已知函數f（x）=mx²-（m+1）x+2，m∈R．
  （1）設

  m

  ＜

  1

  2

  ，解不等式f（x）＜mx；
  （2）設m＞0，若當x∈[2，+∞）時f（x）的最小值為

  3

  4

  ，求m的值．
  組卷：23引用：3難度：0.5

  解析