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2023-2024學年湖北省恩施州宣恩縣清源自然雙語高級中學高三（上）期中數學試卷

發布：2025/6/29 7:0:12

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1．已知函數
f
（
x
）
=
x
（
x
-
a
）
在（0，1）內單調遞增，則實數a的取值范圍是（　　）
A．a≥2 B．a≥0 C．a≤2 D．a≤0
組卷：44引用：2難度：0.8
解析
2．若復數z滿足（1+i）z=|1+i|，則
z
的虛部為（　　）
A．
-
2
i
B．
-
2
2
C．
2
2
i
D．
2
2
組卷：64引用：1難度：0.7
解析
3．《周髀算經》中有這樣一個問題：從冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節氣其日影長依次成等差數列．若冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，谷雨日影長為5.5尺，則這十二個節氣日影長之和為（　　）
A．80尺 B．96尺 C．162尺 D．228尺
組卷：502引用：3難度：0.5
解析
4．已知空間中不過同一點的三條直線l,m,n,條件“l,m,n共面”成立的一個充分不必要條件是（　　）
A．l∩m=P，l∩n=Q B．l,m,n兩兩相交
C．l∥m,l∥n D．l∥m,m∩n=P
組卷：94引用：2難度：0.7
解析
5．命題“?x∈R，x²+1＞0”的否定是（　　）
A．?x∈R，x²+1＜0 B．?x∈R，x²+1≤0
C．?x∈R，x²+1≤0 D．?x∈R，x²+1＜0
組卷：221引用：23難度：0.9
解析
6．已知函數
f
（
x
）
=
1
6
x
3
+
sinx
,
f
′
（
x
）
為f（x）的導函數，則y=f'（x）的大致圖象是（　　）
A． B． C． D．
組卷：63引用：1難度：0.4
解析
7．不等式1+5x-6x²＜0的解集為（　　）
A．{x|x＞1或
x
＜
-
1
6
} B．
{
x
|
-
1
6
＜
x
＜
1
}
C．{x|x＞2或x＜-3} D．{x|-3＜x＜2}
組卷：26引用：4難度：0.5
解析
8．系統找不到該試題

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9．若a,b,c∈R，則下列命題正確的是（　　）
A．若ab≠0且a＜b,則
1
a
＞
1
b
B．若0＜a＜1，則a²＜a
C．若a＞b＞0且c＞0，則
b
+
c
a
+
c
＞
b
a
D．a²+b²+1≥2（a-2b-2）
組卷：290引用：12難度：0.8
解析
10．設定義在R上的函數f（x），g（x）滿足：①g（0）=1：②對任意實數x₁，x₂滿足g（x₁-x₂）=f（x₁）f（x₂）+g（x₁）g（x₂）；③存在大于零的常數m,使得f（m）=1，且當x∈（0，m）時，f（x）＞0，g（x）＞0．則（　　）
A．g（m）=f（0）=0
B．當x∈（0，m）時，f（x）+g（x）＞1
C．函數f（x）?g（x）在R上沒有最值
D．任取x∈R，f（m-x）=g（x）
組卷：154引用：2難度：0.3
解析

11．中國傳統文化中很多內容體現了數學的“對稱美”，如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚，太極圖展現了一種相互轉化，相對統一的和諧美．定義：圓O的圓心在原點，若函數的圖象將圓O的周長和面積同時等分成兩部分，則這個函數稱為圓O的一個“太極函數”，則下列說法正確的是（　　）

A．對于圓O，其“太極函數”有且只有1個

B．函數

（

）

（

≥

）

（

＜

）

是圓O的一個“太極函數”

C．函數f（x）=x³-3x不是圓O的“太極函數”

D．函數

（

）

（

）

是圓O的一個“太極函數”

組卷：73引用：1難度：0.5

解析

12．有一組樣本數據x₁，x₂，?，x_n，其平均數和方差分別為
x
，s²．由這組數據得到一組新樣本數據y₁，y₂，?，y_n，其中y_i=2x_i+3（i=1，2，?，n），其平均數和方差分別為
y
，s'²，則（　　）
A．
y
=
2
x
B．s²=s'² C．
x
=
1
2
y
-
3
2
D．
s
2
=
1
4
s
′
2
組卷：13引用：2難度：0.7
解析

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13．函數
y
=
sin
（
2
x
+
π
3
）
+
4
的最小正周期為
．
組卷：124引用：2難度：0.9
解析
14．設S_n為等差數列{a_n}（n∈N*）的前n項和，若S₁₀=20，S₂₀=10，且S_n=-30，則n的值為
．
組卷：135引用：3難度：0.7
解析
15．某單位安排A，B，C，D，E，F等6名工作人員到4個不同的地方開展工作，每個地方至少需安排一名工作人員，其中A，B被安排到同一個地方工作，D，E不能被安排到同一個地方工作，則不同的分配方法共有
種．
組卷：126引用：2難度：0.8
解析
16．已知△ABC，點D滿足
2
BD
=
3
DC
，若
AD
=
λ
AB
+
μ
AC
（
λ
，
μ
∈
R
）
，則μ=
．
組卷：34引用：1難度：0.7
解析

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17．已知
f
（
α
）
=
cos
（
3
π
-
α
）
sin
（
α
+
π
2
）
sin
（
π
-
α
）
tan
（
2
π
-
α
）
cos
（
3
2
π
-
α
）
cos
（
π
+
α
）
．
（1）若
f
（
α
-
π
4
）
=
3
5
，
α
∈
（
3
π
4
，
5
π
4
）
，求
sin
（
π
4
+
α
）
的值．
（2）已知
0
＜
α
＜
π
2
＜
β
＜
π
，
f
（
α
）
=
4
5
，
cos
（
β
-
α
）
=
2
10
．求角β的值．
組卷：100引用：3難度：0.6
解析
18．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=-
9
4
，且4S_n+1=3S_n-9．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列{b_n}滿足3b_n+na_n=0（n∈N^*），記數列{b_n}的前n項和為T_n，若T_n≤λb_n+12對任意n∈N^*恒成立，求實數λ的取值范圍．
組卷：253引用：7難度：0.5
解析

19．為迎接建黨一百周年，在全縣中小學校開展“恰是百年風華，愛我山河美景”競賽考試活動，進一步激發學生的愛國熱情．某中學于2021年3月份對全校學生進行了“建黨一百周年”國防教育知識競賽考試，并隨機抽取了100名學生的成績進行了統計，其中男女生各占一半，繪制了頻率分布直方圖（如圖所示），規定80分（滿分100分）及以上者為成績優秀，否則為成績不優秀．
（1）求圖中a的值；
（2）根據已知條件完成下面2×2列聯表，并判斷能否有95%的把握認為“成績優秀”與性別有關？

成績優秀成績不優秀合計

男 17

女 50

合計

（3）將頻率視為概率，從本次考試的全縣所有學生中，隨機抽取4人去其他學校進行愛國勵志演講宣傳，記抽取的4人中成績優秀的人數為X，求X的分布列和數學期望．
附：

P（K²≥k） … 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001

k … 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828

K
2
=
n
（
ad
-
bc
）
2
（
a
+
b
）
（
c
+
d
）
（
a
+
c
）
（
b
+
d
）
．

組卷：60引用：4難度：0.5

解析

20．設
f
（
x
）
=
alnx
+
1
2
x
-
3
2
x
+
1
曲線y=f（x）在點（1，f（1））處取得極值．
（1）求a的值；
（2）求函數f（x）的單調區間和極值．
組卷：815引用：13難度：0.6
解析
21．如圖所示的五邊形SBADC中ABCD是矩形，AD=2AB，SB=SC，沿BC折疊成四棱錐S-ABCD，MB=MC，SM=2．

（1）從條件①
sin
∠
SBM
=
2
5
5
；②
cos
∠
SAM
=
3
3
；③
SA
=
6
中任選兩個作為補充條件，證明：平面SBC⊥平面ABCD；
（2）在（1）的條件下，求點C到平面SAD的距離．
組卷：6引用：1難度：0.4
解析
22．在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a,b,c,acosB-2acosC=（2c-b）cosA．
（1）若c=
3
a,求cosB的值；
（2）若b=1，∠BAC的平分線AD交BC于點D，求AD長度的取值范圍．
組卷：1732引用：13難度：0.6
解析

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A．l∩m=P，l∩n=Q	B．l,m,n兩兩相交
C．l∥m,l∥n	D．l∥m,m∩n=P

A．?x∈R，x²+1＜0	B．?x∈R，x²+1≤0
C．?x∈R，x²+1≤0	D．?x∈R，x²+1＜0

A．{x\|x＞1或 x ＜ - 1 6 }	B． { x \| - 1 6 ＜ x ＜ 1 }
C．{x\|x＞2或x＜-3}	D．{x\|-3＜x＜2}

P（K²≥k）	…	0.10	0.05	0.025	0.010	0.001
k	…	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

2023-2024學年湖北省恩施州宣恩縣清源自然雙語高級中學高三（上）期中數學試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1．已知函數f（x）=x（x-a）在（0，1）內單調遞增，則實數a的取值范圍是（ ）

2．若復數z滿足（1+i）z=|1+i|，則z的虛部為（ ）

4．已知空間中不過同一點的三條直線l,m,n,條件“l,m,n共面”成立的一個充分不必要條件是（ ）

5．命題“?x∈R，x2+1＞0”的否定是（ ）

6．已知函數f（x）=16x3+sinx,f′（x）為f（x）的導函數，則y=f'（x）的大致圖象是（ ）

7．不等式1+5x-6x2＜0的解集為（ ）

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9．若a,b,c∈R，則下列命題正確的是（ ）

10．設定義在R上的函數f（x），g（x）滿足：①g（0）=1：②對任意實數x1，x2滿足g（x1-x2）=f（x1）f（x2）+g（x1）g（x2）；③存在大于零的常數m,使得f（m）=1，且當x∈（0，m）時，f（x）＞0，g（x）＞0．則（ ）

12．有一組樣本數據x1，x2，?，xn，其平均數和方差分別為x，s2．由這組數據得到一組新樣本數據y1，y2，?，yn，其中yi=2xi+3（i=1，2，?，n），其平均數和方差分別為y，s'2，則（ ）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13．函數y=sin（2x+π3）+4的最小正周期為 ．

14．設Sn為等差數列{an}（n∈N*）的前n項和，若S10=20，S20=10，且Sn=-30，則n的值為．

15．某單位安排A，B，C，D，E，F等6名工作人員到4個不同的地方開展工作，每個地方至少需安排一名工作人員，其中A，B被安排到同一個地方工作，D，E不能被安排到同一個地方工作，則不同的分配方法共有 種．

16．已知△ABC，點D滿足2BD=3DC，若AD=λAB+μAC（λ，μ∈R），則μ=．

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17．已知f（α）=cos（3π-α）sin（α+π2）sin（π-α）tan（2π-α）cos（32π-α）cos（π+α）．（1）若f（α-π4）=35，α∈（3π4，5π4），求sin（π4+α）的值．（2）已知0＜α＜π2＜β＜π，f（α）=45，cos（β-α）=210．求角β的值．

18．已知數列{an}的前n項和為Sn，a1=-94，且4Sn+1=3Sn-9．（1）求數列{an}的通項公式；（2）設數列{bn}滿足3bn+nan=0（n∈N*），記數列{bn}的前n項和為Tn，若Tn≤λbn+12對任意n∈N*恒成立，求實數λ的取值范圍．

20．設f（x）=alnx+12x-32x+1曲線y=f（x）在點（1，f（1））處取得極值．（1）求a的值；（2）求函數f（x）的單調區間和極值．

22．在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a,b,c,acosB-2acosC=（2c-b）cosA．（1）若c=3a,求cosB的值；（2）若b=1，∠BAC的平分線AD交BC于點D，求AD長度的取值范圍．

1．已知函數
f
（
x
）
=
x
（
x
-
a
）
在（0，1）內單調遞增，則實數a的取值范圍是（　　）

2．若復數z滿足（1+i）z=|1+i|，則
z
的虛部為（　　）

4．已知空間中不過同一點的三條直線l,m,n,條件“l,m,n共面”成立的一個充分不必要條件是（　　）

5．命題“?x∈R，x²+1＞0”的否定是（　　）

6．已知函數
f
（
x
）
=
1
6
x
3
+
sinx
,
f
′
（
x
）
為f（x）的導函數，則y=f'（x）的大致圖象是（　　）

7．不等式1+5x-6x²＜0的解集為（　　）

9．若a,b,c∈R，則下列命題正確的是（　　）

10．設定義在R上的函數f（x），g（x）滿足：①g（0）=1：②對任意實數x₁，x₂滿足g（x₁-x₂）=f（x₁）f（x₂）+g（x₁）g（x₂）；③存在大于零的常數m,使得f（m）=1，且當x∈（0，m）時，f（x）＞0，g（x）＞0．則（　　）

12．有一組樣本數據x₁，x₂，?，x_n，其平均數和方差分別為
x
，s²．由這組數據得到一組新樣本數據y₁，y₂，?，y_n，其中y_i=2x_i+3（i=1，2，?，n），其平均數和方差分別為
y
，s'²，則（　　）

13．函數
y
=
sin
（
2
x
+
π
3
）
+
4
的最小正周期為
．

14．設S_n為等差數列{a_n}（n∈N*）的前n項和，若S₁₀=20，S₂₀=10，且S_n=-30，則n的值為
．

15．某單位安排A，B，C，D，E，F等6名工作人員到4個不同的地方開展工作，每個地方至少需安排一名工作人員，其中A，B被安排到同一個地方工作，D，E不能被安排到同一個地方工作，則不同的分配方法共有
種．

16．已知△ABC，點D滿足
2
BD
=
3
DC
，若
AD
=
λ
AB
+
μ
AC
（
λ
，
μ
∈
R
）
，則μ=
．

18．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=-
9
4
，且4S_n+1=3S_n-9．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列{b_n}滿足3b_n+na_n=0（n∈N^），記數列{b_n}的前n項和為T_n，若T_n≤λb_n+12對任意n∈N^恒成立，求實數λ的取值范圍．

20．設
f
（
x
）
=
alnx
+
1
2
x
-
3
2
x
+
1
曲線y=f（x）在點（1，f（1））處取得極值．
（1）求a的值；
（2）求函數f（x）的單調區間和極值．

22．在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a,b,c,acosB-2acosC=（2c-b）cosA．
（1）若c=
3
a,求cosB的值；
（2）若b=1，∠BAC的平分線AD交BC于點D，求AD長度的取值范圍．