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人教B版（2019）選擇性必修第一冊(cè)《第一章空間向量與立體幾何》2021年單元測(cè)試卷（4）

發(fā)布：2025/6/29 8:0:17

一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的）

1．已知圓C：x²+y²-6x-4y+12=0，M，N是圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A（1，0），且
AM
=
λ
AN
，則
AM
?
AN
的值為（　　）
A．
7
B．7 C．
2
2
D．8
組卷：47引用：3難度：0.5
解析
2．已知空間向量
a
=（2，-1，1），
b
=（-4，x,y），
a
∥
b
，則x-y=（　　）
A．4 B．-4 C．0 D．2
組卷：167引用：2難度：0.9
解析
3．已知空間三點(diǎn)A（1，-1，2），B（3，0，-1），C（2，3，-3），則向量
AB
與
CB
的夾角為（　　）
A．
π
6
B．
π
3
C．
2
π
3
D．
5
π
6
組卷：231引用：7難度：0.7
解析
4．如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是四邊形A₁B₁C₁D₁的內(nèi)切圓上一點(diǎn)，O為四邊形ABCD的中心，則
OP
?
DP
的最大值為（　　）
A．5 B．6 C．
5
+
2
D．
5
+
3
組卷：717引用：4難度：0.5
解析
5．設(shè)x,y∈R，向量
a
=
（
x
,
1
，
1
）
，
b
=
（
1
，
y
,
1
）
，
c
=
（
3
，-
6
，
3
）
，且
a
⊥
c
，
b
∥
c
，則
|
a
+
b
|
=（　　）
A．
10
B．3 C．4 D．
2
2
組卷：315引用：11難度：0.7
解析
6．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，則點(diǎn)C到平面BDD₁B₁的距離為（　　）
A．1 B．
2
C．2
2
D．2
3
組卷：215引用：4難度：0.7
解析
7．如圖在一個(gè)120°的二面角的棱上有兩點(diǎn)A，B，線段AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且均與棱AB垂直，若CD=3，AC=1，BD=2，則AB的長(zhǎng)為（　　）
A．
2
B．2 C．
6
D．6
組卷：242引用：3難度：0.6
解析
8．正三棱錐V-ABC（頂點(diǎn)在底面的射影是底面正三角形的中心）中，D，E，F(xiàn)分別是VC，VA，AC的中點(diǎn)，P為VB上任意一點(diǎn)，則直線DE與PF所成的角的大小是（　　）
A．30° B．90°
C．60° D．隨P點(diǎn)的變化而變化
組卷：182引用：25難度：0.9
解析

二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共10分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分）

9．已知空間中三點(diǎn)A（0，1，0），B（2，2，0），C（-1，3，1），則下列說(shuō)法正確的是（　　）
A．
AB
與
AC
是共線向量
B．與
AB
同向的單位向量是（
2
5
5
，
5
5
，0）
C．
AB
和
BC
夾角的余弦值是
55
11
D．平面ABC的一個(gè)法向量是（1，-2，5）
組卷：657引用：31難度：0.7
解析
10．若正四棱錐的體積為18，則當(dāng)該正四棱錐的側(cè)面積最小時(shí)，下列結(jié)論中正確的有（　　）
A．棱錐的高與底面邊長(zhǎng)的比值為
2
2
B．側(cè)棱與底面所成的角為
π
4
C．棱錐的高與底面邊長(zhǎng)的比值為
2
D．側(cè)棱與底面所成的角為
π
3
組卷：5引用：2難度：0.9
解析
11．已知
v
為直線l的方向向量，
n
1
，
n
2
分別為平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列說(shuō)法中，正確的有（　　）
A．
n
1
∥
n
2
?α∥β B．
n
1
⊥
n
2
?α⊥β C．
v
∥
n
1
?l∥α D．
v
⊥
n
1
?l⊥α
組卷：283引用：24難度：0.6
解析
12．如圖，將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，得到三棱錐A₁-BCD，則下列命題中，正確的為（　　）
A．直線BD⊥平面A₁OC
B．三棱錐A₁-BCD的外接球的表面積是8π
C．A₁B⊥CD
D．若E為CD的中點(diǎn)，則A₁B⊥平面A₁OE
組卷：85引用：5難度：0.5
解析

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中橫線處）

13．已知向量
a
，
b
滿足
|
a
|
=
1
，
|
b
|
=
2
，
|
a
+
2
b
|
=
5
．則
a
?
b
=
．
組卷：4引用：2難度：0.8
解析
14．已知
a
=
（
2
，-
1
，
3
）
，
b
=
（
-
1
，
4
，
2
）
，
c
=
（
-
3
，
5
，
λ
）
，若
a
，
b
，
c
三向量共面，則實(shí)數(shù)λ=
．
組卷：624引用：10難度：0.8
解析
15．如圖，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA=AC=1，BC=
2
，則二面角A-PB-C的余弦值大小為
．
組卷：164引用：3難度：0.5
解析
16．平面四邊形ABCD中，AB=BC=CA=2，AD=DC，∠CDA=90°，把三角形ABC沿AC折起，使得三角形ABC所在平面與三角形ACD所在平面垂直，連接BD，則直線BD與平面ACD所成角的余弦值為
，點(diǎn)C到平面ABD的距離為
．
組卷：12引用：1難度：0.5
解析

四、解答題（共大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

17．如圖，在三棱臺(tái)ABC-A₁B₁C₁中，若A₁A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=AA₁=2，A₁C₁=1，M為棱BC上一動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）．
（1）若M為BC的中點(diǎn)，在圖中過(guò)點(diǎn)A₁作一個(gè)平面α，使得平面C₁MA∥α．（不必給出證明過(guò)程，只要求作出α與棱臺(tái)ABCD-A₁B₁C₁D₁的截面）；
（2）是否存在點(diǎn)M，使得平面C₁MA與平面ACC₁A₁所成角的余弦值為
6
6
？若存在，求出BM長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
組卷：26引用：2難度：0.4
解析
18．如圖，在四棱線P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=
2
AB，點(diǎn)M是棱PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PB∥平面ACM；
（Ⅱ）設(shè)AC的中點(diǎn)為O，點(diǎn)N在棱PC上（異于點(diǎn)P，C），且ON=OA，求直線AN與平面ACM所成角的正弦值．
組卷：87引用：1難度：0.5
解析
19．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁A=B₁C，AA₁=13，AB=8，BC=6，AB⊥BC，D為AC中點(diǎn)，tan∠BB₁D=
5
12
．
（1）求證：BC⊥B₁D；
（2）線段B₁C₁上是否存在一點(diǎn)E，使得AE與面BCC₁B₁的夾角正弦值為
12
74
185
．
組卷：64引用：4難度：0.4
解析
20．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AC=4，AB=3，BC=5，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)．
（1）求證：AB⊥A₁C；
（2）求二面角D-CA₁-A的余弦值．
組卷：339引用：6難度：0.6
解析
21．如圖，P-ABCD為四棱錐．
（1）若
PD
=m
PA
+n
PB
+t
PC
，求證：m+n+t=1；
（2）若P-ABCD為正四棱錐，且PA=AB=
2
，求底面中心O到面PCD的距離．（要求用向量知識(shí)求解）
組卷：2引用：1難度：0.6
解析
22．如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、PC的中點(diǎn)．
（1）求證：
EF
，
AP
，
AD
共面；
（2）求證：EF⊥CD．
組卷：425引用：6難度：0.5
解析

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A．30°	B．90°
C．60°	D．隨P點(diǎn)的變化而變化

人教B版（2019）選擇性必修第一冊(cè)《第一章 空間向量與立體幾何》2021年單元測(cè)試卷（4）

一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的）

1．已知圓C：x2+y2-6x-4y+12=0，M，N是圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A（1，0），且AM=λAN，則AM?AN的值為（ ）

2．已知空間向量a=（2，-1，1），b=（-4，x,y），a∥b，則x-y=（ ）

3．已知空間三點(diǎn)A（1，-1，2），B（3，0，-1），C（2，3，-3），則向量AB與CB的夾角為（ ）

4．如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是四邊形A1B1C1D1的內(nèi)切圓上一點(diǎn)，O為四邊形ABCD的中心，則OP?DP的最大值為（ ）

5．設(shè)x,y∈R，向量a=（x,1，1），b=（1，y,1），c=（3，-6，3），且a⊥c，b∥c，則|a+b|=（ ）

6．已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，則點(diǎn)C到平面BDD1B1的距離為（ ）

7．如圖在一個(gè)120°的二面角的棱上有兩點(diǎn)A，B，線段AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且均與棱AB垂直，若CD=3，AC=1，BD=2，則AB的長(zhǎng)為（ ）

8．正三棱錐V-ABC（頂點(diǎn)在底面的射影是底面正三角形的中心）中，D，E，F(xiàn)分別是VC，VA，AC的中點(diǎn)，P為VB上任意一點(diǎn)，則直線DE與PF所成的角的大小是（ ）

二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共10分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分）

9．已知空間中三點(diǎn)A（0，1，0），B（2，2，0），C（-1，3，1），則下列說(shuō)法正確的是（ ）

10．若正四棱錐的體積為18，則當(dāng)該正四棱錐的側(cè)面積最小時(shí)，下列結(jié)論中正確的有（ ）

11．已知v為直線l的方向向量，n1，n2分別為平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列說(shuō)法中，正確的有（ ）

12．如圖，將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，得到三棱錐A1-BCD，則下列命題中，正確的為（ ）

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中橫線處）

13．已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，|a+2b|=5．則a?b=．

14．已知a=（2，-1，3），b=（-1，4，2），c=（-3，5，λ），若a，b，c三向量共面，則實(shí)數(shù)λ=．

15．如圖，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA=AC=1，BC=2，則二面角A-PB-C的余弦值大小為．

16．平面四邊形ABCD中，AB=BC=CA=2，AD=DC，∠CDA=90°，把三角形ABC沿AC折起，使得三角形ABC所在平面與三角形ACD所在平面垂直，連接BD，則直線BD與平面ACD所成角的余弦值為 ，點(diǎn)C到平面ABD的距離為 ．

四、解答題（共大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

19．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1A=B1C，AA1=13，AB=8，BC=6，AB⊥BC，D為AC中點(diǎn)，tan∠BB1D=512．（1）求證：BC⊥B1D；（2）線段B1C1上是否存在一點(diǎn)E，使得AE與面BCC1B1的夾角正弦值為1274185．

20．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AC=4，AB=3，BC=5，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)．（1）求證：AB⊥A1C；（2）求二面角D-CA1-A的余弦值．

21．如圖，P-ABCD為四棱錐．（1）若PD=mPA+nPB+tPC，求證：m+n+t=1；（2）若P-ABCD為正四棱錐，且PA=AB=2，求底面中心O到面PCD的距離．（要求用向量知識(shí)求解）

22．如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、PC的中點(diǎn)．（1）求證：EF，AP，AD共面；（2）求證：EF⊥CD．

人教B版（2019）選擇性必修第一冊(cè)《第一章空間向量與立體幾何》2021年單元測(cè)試卷（4）

1．已知圓C：x²+y²-6x-4y+12=0，M，N是圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A（1，0），且
AM
=
λ
AN
，則
AM
?
AN
的值為（　　）

2．已知空間向量
a
=（2，-1，1），
b
=（-4，x,y），
a
∥
b
，則x-y=（　　）

3．已知空間三點(diǎn)A（1，-1，2），B（3，0，-1），C（2，3，-3），則向量
AB
與
CB
的夾角為（　　）

4．如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是四邊形A₁B₁C₁D₁的內(nèi)切圓上一點(diǎn)，O為四邊形ABCD的中心，則
OP
?
DP
的最大值為（　　）

5．設(shè)x,y∈R，向量
a
=
（
x
,
1
，
1
）
，
b
=
（
1
，
y
,
1
）
，
c
=
（
3
，-
6
，
3
）
，且
a
⊥
c
，
b
∥
c
，則
|
a
+
b
|
=（　　）

6．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，則點(diǎn)C到平面BDD₁B₁的距離為（　　）

7．如圖在一個(gè)120°的二面角的棱上有兩點(diǎn)A，B，線段AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且均與棱AB垂直，若CD=3，AC=1，BD=2，則AB的長(zhǎng)為（　　）

8．正三棱錐V-ABC（頂點(diǎn)在底面的射影是底面正三角形的中心）中，D，E，F(xiàn)分別是VC，VA，AC的中點(diǎn)，P為VB上任意一點(diǎn)，則直線DE與PF所成的角的大小是（　　）

9．已知空間中三點(diǎn)A（0，1，0），B（2，2，0），C（-1，3，1），則下列說(shuō)法正確的是（　　）

10．若正四棱錐的體積為18，則當(dāng)該正四棱錐的側(cè)面積最小時(shí)，下列結(jié)論中正確的有（　　）

11．已知
v
為直線l的方向向量，
n
1
，
n
2
分別為平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列說(shuō)法中，正確的有（　　）

12．如圖，將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，得到三棱錐A₁-BCD，則下列命題中，正確的為（　　）

13．已知向量
a
，
b
滿足
|
a
|
=
1
，
|
b
|
=
2
，
|
a
+
2
b
|
=
5
．則
a
?
b
=
．

14．已知
a
=
（
2
，-
1
，
3
）
，
b
=
（
-
1
，
4
，
2
）
，
c
=
（
-
3
，
5
，
λ
）
，若
a
，
b
，
c
三向量共面，則實(shí)數(shù)λ=
．

15．如圖，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA=AC=1，BC=
2
，則二面角A-PB-C的余弦值大小為
．

16．平面四邊形ABCD中，AB=BC=CA=2，AD=DC，∠CDA=90°，把三角形ABC沿AC折起，使得三角形ABC所在平面與三角形ACD所在平面垂直，連接BD，則直線BD與平面ACD所成角的余弦值為
，點(diǎn)C到平面ABD的距離為
．

19．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁A=B₁C，AA₁=13，AB=8，BC=6，AB⊥BC，D為AC中點(diǎn)，tan∠BB₁D=
5
12
．
（1）求證：BC⊥B₁D；
（2）線段B₁C₁上是否存在一點(diǎn)E，使得AE與面BCC₁B₁的夾角正弦值為
12
74
185
．

20．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AC=4，AB=3，BC=5，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)．
（1）求證：AB⊥A₁C；
（2）求二面角D-CA₁-A的余弦值．

21．如圖，P-ABCD為四棱錐．
（1）若
PD
=m
PA
+n
PB
+t
PC
，求證：m+n+t=1；
（2）若P-ABCD為正四棱錐，且PA=AB=
2
，求底面中心O到面PCD的距離．（要求用向量知識(shí)求解）

22．如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、PC的中點(diǎn)．
（1）求證：
EF
，
AP
，
AD
共面；
（2）求證：EF⊥CD．