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2022-2023學年黑龍江省哈爾濱一中高三（上）期中數學試卷

發布：2025/6/29 10:0:14

一、單項選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）

1．已知a＞b＞0，c＞d＞0，下列判斷中正確的是（　　）
A．a-c＜b-d B．ac＞bd C．
a
d
＜
b
c
D．ad＞bc
組卷：17引用：4難度：0.9
解析
2．已知
a
=
lo
g
7
8
，
b
=
8
7
，
c
=
lo
g
8
9
，則a,b,c的大小關系為（　　）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c
組卷：12引用：1難度：0.6
解析
3．在復平面內，復數1-2i與-1+3i分別對應向量
ON
和
OM
，其中O為坐標原點，則
|
NM
|
=（　　）
A．1 B．5 C．
2
D．
29
組卷：19引用：2難度：0.8
解析
4．某車間分批生產某種產品，每批的生產準備費用為900元，若每批生產x件，則平均倉儲時間為
x
4
天，且每件產品每天的倉儲費用為1元，為使平均到每件產品的生產準備費用與倉儲費用之和最小，每批應生產產品（　　）
A．30件 B．60件 C．80件 D．100件
組卷：122引用：4難度：0.8
解析
5．設集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，則A∩B=B，則實數m的取值范圍是（　　）
A．[2，3] B．（-∞，3] C．（2，3] D．（-∞，2]
組卷：93引用：5難度：0.9
解析
6．已知數列{a_n}滿足
a
1
=
m
（
m
＞
0
）
，
a
n
+
1
=
a
n
-
1
，
a
n
＞
1
1
a
n
，
0
＜
a
n
≤
1
，則下列結論中錯誤的個數為（　　）
①若a₃=4，則m可以取3個不同的值；
②若
m
=
2
，則數列{a_n}是周期為3的數列；
③對于任意的T∈N*且T≥2，存在m＞1，使得{a_n}是周期為T的數列；
④存在m∈Q且m≥2，使得數列{a_n}是周期數列．
A．4 B．3 C．2 D．1
組卷：74引用：1難度：0.5
解析
7．已知空間兩不同直線m,n,兩不同平面α，β，下列命題正確的是（　　）
A．若m∥α且n∥α，則m∥n
B．若m⊥β且m∥n,則n∥β
C．若m⊥α且m∥β，則α⊥β
D．若m不垂直于α，且n?α，則m不垂直于n
組卷：206引用：5難度：0.6
解析
8．已知
cosθ
=
2
3
，則
sin
（
2
θ
+
π
2
）
=（　　）
A．
-
1
9
B．
1
9
C．
-
8
9
D．
8
9
組卷：459引用：2難度：0.8
解析

二、多項選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）

9．已知直四棱柱
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1
，
A
A
1
=
4
3
，底面ABCD是邊長為4的菱形，且∠BAD=120°，點E，F，G，H分別為A₁B₁，A₁D₁，DD₁，BC的中點．以A₁為球心作半徑為R的球，下列說法正確的是（　　）

A．點E，F，G，H四點共面

B．直線BE與直線AF所成角的余弦值為

C．當球與直四棱柱的五個面有交線時，R的范圍是

（

，

）

D．在直四棱柱內，球A₁外放置一個小球，當小球的體積最大時，球A₁半徑的最大值為

組卷：61引用：3難度：0.4

解析

10．函數f（x）=sin（2x+φ）的圖像向左平移
π
8
個單位后得到一個偶函數的圖像，則φ的值可以為（　　）
A．0 B．
π
4
C．
-
3
π
4
D．
-
π
4
組卷：17引用：1難度：0.7
解析
11．已知向量
a
=（2，1），
b
=（-3，1），則下列說法正確的是（　　）
A．（
a
+
b
）⊥
a
B．|
a
+2
b
|=5
C．向量
a
在向量
b
方向上的投影的數量是
10
2
D．與向量
a
方向相同的單位向量是
（
2
5
5
，
5
5
）
組卷：203引用：6難度：0.6
解析
12．已知函數y=f（x）滿足：對于任意實數x,y∈R，都有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy,且f（0）=0，則（　　）
A．f（x）是奇函數
B．f（x）是周期函數
C．?x∈R，|f（x）|≤1
D．f（x）在[-
π
2
，
π
2
]上是增函數
組卷：52引用：2難度：0.6
解析

三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13．已知函數f（x）=x³．設曲線y=f（x）在點P（x₁，f（x₁））處的切線與該曲線交于另一點Q（x₂，f（x₂）），記f'（x）為函數f（x）的導數，則
f
′
（
x
1
）
f
′
（
x
2
）
的值為
．
組卷：189引用：5難度：0.5
解析
14．設函數f（x）=
lo
g
2
（
1
-
x
）
，
x
＜
0
4
x
，
x
≥
0
，則f（-3）+f（log₂3）=
．
組卷：244引用：10難度：0.9
解析
15．圓柱的側面展開圖是邊長為2π和3π的矩形，則圓柱的體積為

．
組卷：53引用：3難度：0.7
解析
16．中國古代數學著作《九章算術》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”．在如圖所示的塹堵ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AC=5，AB=3，BC=4，則塹堵ABC-A₁B₁C₁的外接球的體積是
．
組卷：23引用：3難度：0.6
解析

四、解答題：（本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）

17．已知數列{a_n}是首項為2的等差數列，數列{b_n}是公比為2的等比數列，且數列{a_n?b_n}的前n項和為
S
n
=
n
?
2
n
+
1
（
n
∈
N
*
）
．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）設_____，求數列{c_n}的前n項和為T_n．
①
c
n
=
a
n
b
n
，②
c
n
=
1
a
n
?
lo
g
2
b
n
，③c_n=a_n+b_n．從這三個條件中任選一個填入上面橫線中，并回答問題．
組卷：19引用：3難度：0.5
解析
18．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，以AD為折痕，將△ACD折至△APD的位置，使得PB⊥AB．
（1）證明：PB⊥平面ABD；
（2）若AD=PB=4，BD=2，求二面角B-PA-D的正弦值．
組卷：953引用：12難度：0.5
解析
19．如圖，在△ABC中，B=
π
6
，D是BC邊上一點，AD=4
2
，CD=7，AC=5．
（1）求∠ADC的大小；
（2）求AB的長．
組卷：99引用：2難度：0.7
解析
20．已知S_n為數列{a_n}的前n項和，a₁=1，
S
n
+
1
+
S
n
=
2
n
2
+
2
n
+
1
．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）若b₁=1，
b
n
+
1
+
（
-
1
）
n
b
n
=
a
n
，求數列{b_n}的前n項和T_n．
組卷：201引用：4難度：0.5
解析

21．從甲、乙兩品種的棉花中各抽測了25根棉花的纖維長度（單位：mm），得到如圖5的莖葉圖，整數位為莖，小數位為葉，如27.1mm的莖為27，葉為1．
（Ⅰ）試比較甲、乙兩種棉花的纖維長度的平均值的大小及方差的大小；（只需寫出估計的結論，不需說明理由）
（Ⅱ）將棉花按纖維長度的長短分成七個等級，分級標準如表：

等級七六五四三二一

長度（mm）小于26.0 [26.0，27.0） [27.0，28.0） [28.0，29.0） [29.0，30.0） [30.0，31.0）不小于31.0

試分別估計甲、乙兩種棉花纖維長度等級為二級的概率；
（Ⅲ）為進一步檢驗甲種棉花的其它質量指標，現從甲種棉花中隨機抽取4根，記ξ為抽取的棉花纖維長度為二級的根數，求ξ的分布列和數學期望．

組卷：54引用：2難度：0.7

解析

22．已知函數f（x）=e^ax-2ax（a∈R，a≠0）．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）若不等式f（x）≥sinx-cosx+2-2ax對任意x≥0恒成立，求實數a的取值范圍．
組卷：71引用：2難度：0.5
解析

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等級	七	六	五	四	三	二	一
長度（mm）	小于26.0	[26.0，27.0）	[27.0，28.0）	[28.0，29.0）	[29.0，30.0）	[30.0，31.0）	不小于31.0

2022-2023學年黑龍江省哈爾濱一中高三（上）期中數學試卷

一、單項選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）

1．已知a＞b＞0，c＞d＞0，下列判斷中正確的是（ ）

2．已知a=log78，b=87，c=log89，則a,b,c的大小關系為（ ）

3．在復平面內，復數1-2i與-1+3i分別對應向量ON和OM，其中O為坐標原點，則|NM|=（ ）

4．某車間分批生產某種產品，每批的生產準備費用為900元，若每批生產x件，則平均倉儲時間為x4天，且每件產品每天的倉儲費用為1元，為使平均到每件產品的生產準備費用與倉儲費用之和最小，每批應生產產品（ ）

5．設集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，則A∩B=B，則實數m的取值范圍是（ ）

7．已知空間兩不同直線m,n,兩不同平面α，β，下列命題正確的是（ ）

8．已知cosθ=23，則sin（2θ+π2）=（ ）

二、多項選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）

9．已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，AA1=43，底面ABCD是邊長為4的菱形，且∠BAD=120°，點E，F，G，H分別為A1B1，A1D1，DD1，BC的中點．以A1為球心作半徑為R的球，下列說法正確的是（ ）

10．函數f（x）=sin（2x+φ）的圖像向左平移π8個單位后得到一個偶函數的圖像，則φ的值可以為（ ）

11．已知向量a=（2，1），b=（-3，1），則下列說法正確的是（ ）

12．已知函數y=f（x）滿足：對于任意實數x,y∈R，都有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy,且f（0）=0，則（ ）

三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13．已知函數f（x）=x3．設曲線y=f（x）在點P（x1，f（x1））處的切線與該曲線交于另一點Q（x2，f（x2）），記f'（x）為函數f（x）的導數，則f′（x1）f′（x2）的值為．

14．設函數f（x）=log2（1-x），x＜04x，x≥0，則f（-3）+f（log23）=．

15．圓柱的側面展開圖是邊長為2π和3π的矩形，則圓柱的體積為 ．

16．中國古代數學著作《九章算術》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”．在如圖所示的塹堵ABC-A1B1C1中，AA1=AC=5，AB=3，BC=4，則塹堵ABC-A1B1C1的外接球的體積是 ．

四、解答題：（本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）

18．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，以AD為折痕，將△ACD折至△APD的位置，使得PB⊥AB．（1）證明：PB⊥平面ABD；（2）若AD=PB=4，BD=2，求二面角B-PA-D的正弦值．

19．如圖，在△ABC中，B=π6，D是BC邊上一點，AD=42，CD=7，AC=5．（1）求∠ADC的大小；（2）求AB的長．

20．已知Sn為數列{an}的前n項和，a1=1，Sn+1+Sn=2n2+2n+1．（1）求{an}的通項公式；（2）若b1=1，bn+1+（-1）nbn=an，求數列{bn}的前n項和Tn．

22．已知函數f（x）=eax-2ax（a∈R，a≠0）．（1）討論f（x）的單調性；（2）若不等式f（x）≥sinx-cosx+2-2ax對任意x≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

1．已知a＞b＞0，c＞d＞0，下列判斷中正確的是（　　）

2．已知
a
=
lo
g
7
8
，
b
=
8
7
，
c
=
lo
g
8
9
，則a,b,c的大小關系為（　　）

3．在復平面內，復數1-2i與-1+3i分別對應向量
ON
和
OM
，其中O為坐標原點，則
|
NM
|
=（　　）

4．某車間分批生產某種產品，每批的生產準備費用為900元，若每批生產x件，則平均倉儲時間為
x
4
天，且每件產品每天的倉儲費用為1元，為使平均到每件產品的生產準備費用與倉儲費用之和最小，每批應生產產品（　　）

5．設集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，則A∩B=B，則實數m的取值范圍是（　　）

7．已知空間兩不同直線m,n,兩不同平面α，β，下列命題正確的是（　　）

8．已知
cosθ
=
2
3
，則
sin
（
2
θ
+
π
2
）
=（　　）

9．已知直四棱柱
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1
，
A
A
1
=
4
3
，底面ABCD是邊長為4的菱形，且∠BAD=120°，點E，F，G，H分別為A₁B₁，A₁D₁，DD₁，BC的中點．以A₁為球心作半徑為R的球，下列說法正確的是（　　）

10．函數f（x）=sin（2x+φ）的圖像向左平移
π
8
個單位后得到一個偶函數的圖像，則φ的值可以為（　　）

11．已知向量
a
=（2，1），
b
=（-3，1），則下列說法正確的是（　　）

12．已知函數y=f（x）滿足：對于任意實數x,y∈R，都有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy,且f（0）=0，則（　　）

13．已知函數f（x）=x³．設曲線y=f（x）在點P（x₁，f（x₁））處的切線與該曲線交于另一點Q（x₂，f（x₂）），記f'（x）為函數f（x）的導數，則
f
′
（
x
1
）
f
′
（
x
2
）
的值為
．

14．設函數f（x）=
lo
g
2
（
1
-
x
）
，
x
＜
0
4
x
，
x
≥
0
，則f（-3）+f（log₂3）=
．

15．圓柱的側面展開圖是邊長為2π和3π的矩形，則圓柱的體積為

．

16．中國古代數學著作《九章算術》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”．在如圖所示的塹堵ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AC=5，AB=3，BC=4，則塹堵ABC-A₁B₁C₁的外接球的體積是
．

18．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，以AD為折痕，將△ACD折至△APD的位置，使得PB⊥AB．
（1）證明：PB⊥平面ABD；
（2）若AD=PB=4，BD=2，求二面角B-PA-D的正弦值．

19．如圖，在△ABC中，B=
π
6
，D是BC邊上一點，AD=4
2
，CD=7，AC=5．
（1）求∠ADC的大小；
（2）求AB的長．

20．已知S_n為數列{a_n}的前n項和，a₁=1，
S
n
+
1
+
S
n
=
2
n
2
+
2
n
+
1
．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）若b₁=1，
b
n
+
1
+
（
-
1
）
n
b
n
=
a
n
，求數列{b_n}的前n項和T_n．

22．已知函數f（x）=e^ax-2ax（a∈R，a≠0）．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）若不等式f（x）≥sinx-cosx+2-2ax對任意x≥0恒成立，求實數a的取值范圍．