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2022-2023學年北京市東城區東直門中學高一（下）期中數學試卷

發布：2024/5/10 8:0:9

一．選擇題：（本題有12道小題，每小題4分，共48分）

1．在平面直角坐標系xOy中，若角α以x軸非負半軸為始邊，其終邊與單位圓交點的橫坐標為
3
2
，則α的一個可能取值為（　　）
A．-60° B．-30° C．45° D．60°
組卷：473引用：5難度：0.8
解析
2．下列命題正確的是（　　）
A．單位向量都相等
B．模為0的向量與任意向量共線
C．平行向量不一定是共線向量
D．任一向量與它的相反向量不相等
組卷：704引用：7難度：0.9
解析
3．已知角α的終邊在第三象限，且tanα=2，則sinα-cosα=（　　）
A．-1 B．1 C．-
5
5
D．
5
5
組卷：737引用：11難度：0.8
解析
4．已知P為△ABC所在平面內一點，
BC
=
2
CP
，則（　　）
A．
AP
=
-
1
2
AB
+
3
2
AC
B．
AP
=
1
3
AB
+
2
3
AC
C．
AP
=
3
2
AB
-
1
2
AC
D．
AP
=
2
3
AB
+
1
3
AC
組卷：967引用：8難度：0.7
解析
5．已知向量
a
=（2，4），
b
=（-1，1），則2
a
-
b
=（　　）
A．（5，7） B．（5，9） C．（3，7） D．（3，9）
組卷：3976引用：69難度：0.9
解析
6．已知點A（1，3），B（4，-1），則與向量
AB
同方向的單位向量為（　　）
A．
（
3
5
，-
4
5
）
B．
（
4
5
，-
3
5
）
C．
（
-
3
5
，
4
5
）
D．
（
-
4
5
，
3
5
）
組卷：4769引用：92難度：0.9
解析
7．向量
a
，
b
，
c
在邊長為1的正方形網格中的位置如圖所示，則
（
a
-
b
）
?
c
=（　　）
A．-4 B．4 C．2 D．-8
組卷：655引用：7難度：0.7
解析
8．設點A，B，C不共線，則“
AB
與
AC
的夾角為銳角”是“|
AB
+
AC
|＞|
BC
|”的（　　）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
組卷：4009引用：30難度：0.7
解析

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三.解答題：（本題有6小題，共70分）

25．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a,b,c,向量
m
=
（
b
,
3
a
）
，向量
n
=
（
sin
B
，
sin
2
A
）
，且
m
∥
n
．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）若△ABC的面積為
3
3
，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使△ABC存在且唯一確定，求a的值．
條件①：
sin
C
=
2
7
7
；條件②：
b
c
=
3
3
4
；條件③：
cos
C
=
21
7
．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
組卷：143引用：1難度：0.6
解析
26．設正整數n≥3，集合A={a|a=（x₁，x₂，…，x_n），x_k∈R，k=1，2，…，n}，對應集合A中的任意元素a=（x₁，x₂，...x_n）和b=（y₁，y₂，...y_n），及實數λ，定義：當且僅當x_k=y_k（k=1，2，…，n）時a=b；a+b=（x₁+y₁，x₂+y₂，...x_n+y_n）；λa=（λx₁，λx₂，...λx_n）．若A的子集B={a₁，a₂，a₃}滿足：當且僅當λ₁=λ₂=λ₃=0時，λ₁a₁+λ₂a₂+λ₃a₃=（0，0，…，0），則稱B為A的完美子集．
（Ⅰ）當n=3時，已知集合B₁={（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）}，B₂={（1，2，3），（2，3，4），（4，5，6）}，分別判斷這兩個集合是否為A的完美子集，并說明理由；
（Ⅱ）當n=3時，已知集合B={（2m,m,m-1），（m,2m,m-1），（m,m-1，2m）}．若B不是A的完美子集，求m的值；
（Ⅲ）已知集合B={a₁，a₂，a₃}?A，其中a_i=（x_i1，x_i2，...x_in）（i=1，2，3）．若2|x_ii|＞|x_1i|+|x_2i|+|x_3i|對任意i=1，2，3都成立，判斷B是否一定為A的完美子集．若是，請說明理由；若不是，請給出反例．
組卷：346引用：15難度：0.3
解析