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2022-2023學年四川省成都市錦江區嘉祥外國語高級中學高一（下）月考數學試卷（6月份）

發布：2024/8/11 1:0:1

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1．復數z=ai+b（a,b∈R）是純虛數的充分不必要條件是（　　）
A．a≠0且b=0 B．b=0 C．a=1且b=0 D．a=b=0
組卷：173引用：6難度：0.7
解析
2．已知第二象限角α的終邊與單位圓交于
P
（
m
,
3
5
）
，則sin2α=（　　）
A．
-
12
25
B．
-
24
25
C．
12
25
D．
24
25
組卷：106引用：5難度：0.7
解析
3．已知菱形ABCD邊長為1，∠BAD=60°，則
BD
?
DC
=（　　）
A．
3
2
B．
-
3
2
C．
1
2
D．
-
1
2
組卷：184引用：2難度：0.8
解析
4．已知直線l及三個互不重合的平面α，β，γ，下列結論錯誤的是（　　）
A．若α∥β，β∥γ，則α∥γ
B．若α⊥β，β⊥γ，則α⊥γ
C．若α⊥γ，α∥β，則β⊥γ
D．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l,則l⊥γ
組卷：101引用：4難度：0.7
解析
5．在我國古代數學名著《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑，如圖，在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為（　　）
A．
1
2
B．-
1
2
C．
3
2
D．-
3
2
組卷：557引用：20難度：0.7
解析
6．歐拉公式e^ix=cosx+isinx（其中e是自然對數的底，i為虛數單位）是由著名數學家歐拉發現的，它將指數函數的定義域擴大到復數，建立了指數函數與三角函數的關系，被譽為“數學中的天橋”．根據歐拉公式，若將
e
2
π
3
i
所表示的復數記為z,則
z
=（　　）
A．
1
2
+
3
2
i
B．
1
2
-
3
2
i
C．
-
1
2
+
3
2
i
D．
-
1
2
-
3
2
i
組卷：25引用：3難度：0.8
解析

7．已知函數
f
（
x
）
=
2
cos
（
ωx
+
φ
）
（
ω
＞
0
，
|
φ
|
＜
π
2
）
的部分圖象如下所示，其中
A
（
π
12
，
2
）
，
B
（
7
π
12
，
0
）
，為了得到g（x）=2sin2x的圖象，需將（　　）

A．函數f（x）的圖象的橫坐標伸長為原來的

倍后，再向左平移

個單位長度

B．函數f（x）的圖象的橫坐標縮短為原來的

后，再向右平移

個單位長度

C．函數f（x）的圖象向左平移

個單位長度后，再將橫坐標伸長為原來的

倍

D．函數f（x）的圖象向右平移

個單位長度后，再將橫坐標伸長為原來的

倍

組卷：261引用：5難度：0.8

解析

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四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

21．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，
BC
=
2
AD
=
2
AB
=
2
2
，∠ABC=90°（如圖1）．把△ABD沿BD翻折，使得二面角A-BD-C的平面角為θ（如圖2），M、N分別是BD和BC中點．

（1）若E是線段BN的中點，動點F在三棱錐A-BMN表面上運動，并且總保持FE⊥BD，求動點F的軌跡的長度（可用θ表示），詳細說明理由；
（2）若P、Q分別為線段AB與DN上一點，使得
AP
PB
=
NQ
QD
=
λ
（
λ
∈
R
）
，令PQ與BD和AN所成的角分別為θ₁和θ₂，求sinθ₁+sinθ₂的取值范圍．
組卷：99引用：4難度：0.4
解析
22．如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，平面A₁ACC₁⊥平面ABC，∠ABC=90°，
∠BAC=30°，A₁A=A₁C=AC，E，F分別是AC，A₁B₁的中點．
（Ⅰ）證明：EF⊥BC；
（Ⅱ）求直線EF與平面A₁BC所成角的余弦值．
（Ⅲ）求二面角A-A₁C-B的正弦值．
組卷：1321引用：7難度：0.5
解析

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2022-2023學年四川省成都市錦江區嘉祥外國語高級中學高一（下）月考數學試卷（6月份）

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1．復數z=ai+b（a,b∈R）是純虛數的充分不必要條件是（ ）

2．已知第二象限角α的終邊與單位圓交于P（m,35），則sin2α=（ ）

3．已知菱形ABCD邊長為1，∠BAD=60°，則BD?DC=（ ）

4．已知直線l及三個互不重合的平面α，β，γ，下列結論錯誤的是（ ）

5．在我國古代數學名著《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑，如圖，在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為（ ）

7．已知函數f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分圖象如下所示，其中A（π12，2），B（7π12，0），為了得到g（x）=2sin2x的圖象，需將（ ）

四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

22．如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC=90°，∠BAC=30°，A1A=A1C=AC，E，F分別是AC，A1B1的中點．（Ⅰ）證明：EF⊥BC；（Ⅱ）求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值．（Ⅲ）求二面角A-A1C-B的正弦值．

1．復數z=ai+b（a,b∈R）是純虛數的充分不必要條件是（　　）

2．已知第二象限角α的終邊與單位圓交于
P
（
m
,
3
5
）
，則sin2α=（　　）

3．已知菱形ABCD邊長為1，∠BAD=60°，則
BD
?
DC
=（　　）

4．已知直線l及三個互不重合的平面α，β，γ，下列結論錯誤的是（　　）

5．在我國古代數學名著《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑，如圖，在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為（　　）

7．已知函數
f
（
x
）
=
2
cos
（
ωx
+
φ
）
（
ω
＞
0
，
|
φ
|
＜
π
2
）
的部分圖象如下所示，其中
A
（
π
12
，
2
）
，
B
（
7
π
12
，
0
）
，為了得到g（x）=2sin2x的圖象，需將（　　）

22．如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，平面A₁ACC₁⊥平面ABC，∠ABC=90°，
∠BAC=30°，A₁A=A₁C=AC，E，F分別是AC，A₁B₁的中點．
（Ⅰ）證明：EF⊥BC；
（Ⅱ）求直線EF與平面A₁BC所成角的余弦值．
（Ⅲ）求二面角A-A₁C-B的正弦值．