2023-2024學年北京171中學高二（上）期中數學試卷

一、選擇題（每小題4分，共40分）

• 1．圓x²+y²-2x+4y+3=0的圓心坐標為（　　）

  A．（-2，4）

  B．（2，-4）

  C．（1，-2）

  D．（-1，2）
  組卷：151引用：13難度：0.9

  解析

• 2．若直線l₁：x-y+1=0與l₂：x+ay-1=0垂直，則實數a=（　?。?/h2>

  A．1

  B．2

  C．3

  D．-1
  組卷：59難度：0.9

  解析

• 3．若橢圓

  x

  2

  25

  +

  y

  2

  =

  1

  上一點P到橢圓一個焦點的距離為6，則P到另一個焦點的距離為（　　）

  A．3

  B．4

  C．5

  D．6
  組卷：82引用：7難度：0.7

  解析

• 4．已知空間向量

  m

  =（3，1，3），

  n

  =（-1，λ，-1），且

  m

  ∥

  n

  ，則實數λ=（　?。?/h2>

  A．- 1 3

  B．-3

  C． 1 3

  D．6
  組卷：1173引用：11難度：0.8

  解析

• 5．已知直線ax+y-2+a=0在兩坐標軸上的截距相等，則實數a=（　?。?/h2>

  A．1

  B．-1

  C．-2或1

  D．2或1
  組卷：997引用：27難度：0.7

  解析

• 6．直線y=x-b與曲線

  x

  =

  4

  -

  y

  2

  有且僅有一個公共點，則實數b的取值范圍為（　　）

  A． { - 2 2 ， 2 2 }

  B． （ - 2 ， 2 ] ∪ { 2 2 }

  C． [ - 2 ， 2 2 ） ∪ { 2 2 }

  D． [ - 2 ， 2 ） ∪ { 2 2 }
  組卷：295引用：6難度：0.5

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• 7．已知四面體A-BCD的所有棱長都等于2，E是棱AB的中點，F是棱CD靠近C的四等分點，則

  EF

  ?

  AC

  等于（　?。?/h2>

  A． - 1 2

  B． 1 2

  C． - 5 2

  D． 5 2
  組卷：241引用：8難度：0.7

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三、解答題（本大題共6小題，滿分85分）

• 20．已知橢圓

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右焦點分別為F₁，F₂，其中右焦點坐標為（1，0），該橢圓的離心率為

  1

  2

  ．
  （1）求橢圓的標準方程；
  （2）已知點P（1，t）為橢圓上一點，過點F₂的直線l與橢圓交于異于點P的A，B兩點，若△PAB的面積是

  9

  2

  7

  ，求直線l的方程．
  組卷：105引用：1難度：0.5

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• 21．“曼哈頓幾何”也叫“出租車幾何”，是在19世紀由赫爾曼?閔可夫斯基提出來的．如圖是抽象的城市路網，其中線段|AB|是歐式空間中定義的兩點最短距離，但在城市路網中，我們只能走有路的地方，不能“穿墻”而過，所以在“曼哈頓幾何”中，這兩點最短距離用d（A，B）表示，又稱“曼哈頓距離”，即d（A，B）=|AC|+|CB|，因此“曼哈頓兩點間距離公式”：若A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則d（A，B）=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|．
  （1）①點A（3，5），B（2，-1），求d（A，B）的值．
  ②求圓心在原點，半徑為1的“曼哈頓單位圓”方程．
  （2）已知點B（1，0），直線2x-y+2=0，求B點到直線的“曼哈頓距離”最小值；
  （3）設三維空間4個點為A_i=（x_i，y_i，z_i），i=1，2，3，4，且x_i，y_i，z_i∈{0，1}．設其中所有兩點“曼哈頓距離”的平均值即

  d

  ，求

  d

  最大值，并列舉最值成立時的一組坐標．
  組卷：264引用：6難度：0.3

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