2013年四川省成都市樹德中學自主招生數學試卷

一、選擇題；本題共9小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

• 1．對任意實數x,多項式x⁸-x⁵+x²+1的值為（　　）

  A．總大于零

  B．總小于零

  C．可能等于零

  D．以上都不對
  組卷：47引用：1難度：0.5

  解析

• 2．某珠寶店失竊，甲、乙、丙、丁四人涉嫌被拘審，四人的口供如下：甲：作案的是丙；乙：丁是作案者；丙：如果我作案，那么丁是主犯；丁：作案的不是我．如果四人口供中只有一個是假的，那么以下判斷正確的是（　　）

  A．說假話的是甲，作案的是乙

  B．說假話的是丁，作案的是丙和丁

  C．說假話的是乙，作案的是丙

  D．說假話的是丙，作案的是丙
  組卷：266引用：1難度：0.9

  解析

• 3．已知拋物線y=

  1

  2

  x²+bx-2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，其中A（-1，0）點D是拋物線y=

  1

  2

  x²+bx-2的頂點，點M（m,0）是x軸上的一個動點，當MC+MD的值最小時，m的值是（　　）

  A． 25 40

  B． 24 41

  C． 23 40

  D． 25 41
  組卷：185引用：1難度：0.9

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• 4．下圖的4個圖形中，只有一個是由如圖的紙板折疊而成的，則正確的是（　　）

  A．

  B．

  C．

  D．
  組卷：101引用：1難度：0.7

  解析

• 5．如圖所示，已知△ABC面積為1，點D、E、F分別在BC、CA、AB上，且BD=2DC，CE=2EA，AF=2FB，AD、BE、CF兩兩相交于P、Q、R，則△PQR的面積為（　　）

  A． 1 5

  B． 1 6

  C． 1 7

  D． 1 14
  組卷：929引用：1難度：0.5

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• 6．有40個學生參加數學奧林匹克競賽，他們必須解決一個代數問題、一個幾何學問題和一個三角學問題．具體情況如下表述：
  

  問題	解決問題的學生數
  代數學問題	20
  幾何學問題	18
  三角學問題	18
  代數學問題和幾何學問題	7
  代數學問題和三角學問題	8
  幾何學問題和三角學問題	9

  其中有三位同學一個問題都沒有解決，則三個問題都解決的學生數是（　　）

  A．5

  B．6

  C．7

  D．8
  組卷：125引用：1難度：0.3

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• 7．如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2

  2

  ，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫⊙O分別交AB，AC于E，F，連接EF，則線段EF長度的最小值為（　　）

  A．2

  B． 2

  C． 3

  D．3
  組卷：1439引用：8難度：0.7

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三、解答題（本大題共6個小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．）

• 20．已知：如圖，⊙O與⊙A相交于C，D兩點，A，O分別是兩圓的圓心，△ABC內接于⊙O，弦CD交AB于點G，交⊙O的直徑AE于點F，連接BD．
  （1）求證：△ACG∽△DBG；
  （2）求證：AC²=AG?AB；
  （3）若⊙A，⊙O的直徑分別為

  6

  5

  ，15，且CG：CD=1：4，求AB和BD的長．
  組卷：379引用：12難度：0.1

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• 21．如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，O為坐標原點，A、B兩點的坐標分別為（-3，0）、（0，4），拋物線y=

  2

  3

  x²+bx+c經過點B，且頂點在直線x=

  5

  2

  上．
  （1）求拋物線對應的函數關系式；
  （2）若把△ABO沿x軸向右平移得到△DCE，點A、B、O的對應點分別是D、C、E，當四邊形ABCD是菱形時，試判斷點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由；
  （3）在（2）的條件下，連接BD，已知對稱軸上存在一點P使得△PBD的周長最小，求出P點的坐標；
  （4）在（2）、（3）的條件下，若點M是線段OB上的一個動點（點M與點O、B不重合），過點M作MN∥BD交x軸于點N，連接PM、PN，設OM的長為t,△PMN的面積為S，求S和t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此時M點的坐標；若不存在，說明理由．
  組卷：850引用：24難度：0.5

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