2022-2023學年天津一中高三（下）第五次月考數學試卷

一．選擇題（本大題共9小題，每小題5分，共45分）

• 1．已知集合A={x|x=3k+1，k∈Z}，B={x|-3≤x＜4}，則A∩B=（　　）

  A．{1}

  B．{1，4}

  C．{-2，1}

  D．{-2，1，4}
  組卷：127引用：3難度：0.7

  解析

• 2．“cos2α=-

  1

  2

  ”是“cosα=

  1

  2

  ”的（　　）

  A．充分不必要條件	B．必要不充分條件
  C．充要條件	D．既不充分也不必要條件
  組卷：75引用：5難度：0.7

  解析

• 3．函數f（x）=

  ax

  +

  b

  （

  x

  +

  c

  ）

  2

  的圖象如圖所示，則下列結論成立的是（　　）

  A．a＞0，b＞0，c＜0	B．a＜0，b＞0，c＞0
  C．a＜0，b＞0，c＜0	D．a＜0，b＜0，c＜0
  組卷：5815引用：62難度：0.9

  解析

• 4．某校1000名學生參加環保知識競賽，隨機抽取了20名學生的考試成績（單位：分），成績的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（　　）

  A．頻率分布直方圖中a的值為0.004

  B．估計這20名學生考試成績的第60百分位數為75

  C．估計這20名學生數學考試成績的眾數為80

  D．估計總體中成績落在[60，70）內的學生人數為150
  組卷：641引用：9難度：0.8

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• 5．設a=log₃2，b=log₆4，c=log_0.30.2，則a,b,c三者的大小關系是（　　）

  A．b＜c＜a

  B．b＜a＜c

  C．a＜c＜b

  D．a＜b＜c
  組卷：279引用：3難度：0.7

  解析

• 6．某藥廠制造一種藥物膠囊，如圖所示，膠囊的兩端為半球形，半徑

  r

  =

  2

  ，中間可視為圓柱，若該種膠囊的表面積為16π，則該種膠囊的體積為（　　）

  A． 20 2 3 π

  B． 32 3 π

  C． 10 2 3 π

  D． 16 3 π
  組卷：203引用：3難度：0.7

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三．解答題（本大題共5小題，共75分）

• 19．歐幾里得生活的時期人們就發現了橢圓有如下的光學性質：由橢圓一焦點射出的光線經橢圓內壁反射后必經過另一焦點．
  現有一橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0），長軸長為4，從一個焦點F發出的一條光線經橢圓內壁上一點P反射之后恰好與x軸垂直，且PF=

  7

  2

  ．
  （1）求橢圓C的標準方程；
  （2）已知A為該橢圓的左頂點，若斜率為k且不經過點A的直線l與橢圓C交于M，N兩點，記直線AM，AN的斜率分別為k₁，k₂，且滿足k（k₁+k₂）=2．
  ①證明：直線l過定點；
  ②若|OM|²+|ON|²=5，求k的值．
  組卷：130引用：1難度：0.5

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• 20．已知函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  -

  （

  a

  +

  b

  ）

  lnx

  -

  ab

  x

  ，a,b∈R．
  （1）若b=-1，求f（x）的單調區間；
  （2）若f（x）不單調，且f（1）＜0．
  （i）證明：f（a）+f（b）＜-2lnab；
  （ii）若f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），且x₁＜x₂＜x₃，證明：

  x

  1

  +

  x

  3

  +

  ab

  （

  1

  x

  1

  +

  1

  x

  3

  ）

  ＞

  3

  （

  a

  +

  b

  ）

  -

  6

  ab

  （

  a

  +

  b

  ）

  b

  2

  +

  2

  ab

  +

  3

  a

  2

  ．
  組卷：174引用：4難度：0.9

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