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2023-2024學年遼寧省實驗中學高三（上）適應性數學試卷（一）

發布：2024/9/26 8:0:2

一、單選題（每題只有一個選項是正確答案，每題5分，共40分）

1．已知雙曲線
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂，點M在雙曲線的右支上，點N為F₂M的中點，O為坐標原點，|ON|-|NF₂|=2b,∠ONF₂=60°，△F₁MF₂的面積為2
3
，則該雙曲線的方程為（　　）
A．
x
2
4
-
y
2
2
=1 B．
x
2
4
-
y
2
4
=1 C．
x
2
8
-
y
2
2
=1 D．
x
2
8
-
y
2
4
=1
組卷：147引用：3難度：0.6
解析
2．已知函數f（x）=|sinx|+cosx,則下列說法正確的是（　　）
①函數f（x）圖象的一條對稱軸的方程為x=2020π；
②函數f（x）在閉區間
[
π
，
7
4
π
]
上單調遞增；
③函數f（x）圖象的一個對稱中心為點
（
π
2
，
0
）
；
④函數f（x）的值域為
[
-
2
，
2
]
．
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
組卷：110引用：1難度：0.5
解析
3．定義在R上的函數f（x）和g（x）的導函數分別為f′（x），g′（x），則下面結論正確的是（　　）
①若f′（x）＞g′（x），則函數f（x）的圖象在函數g（x）的圖象上方；
②若函數f′（x）與g′（x）的圖象關于直線x=a對稱，則函數f（x）與g（x）的圖象關于點（a,0）對稱；
③函數f（x）=f（a-x），則f′（x）=-f′（a-x）；
④若f′（x）是增函數，則f（
x
1
+
x
2
2
）≤
f
（
x
1
）
+
f
（
x
2
）
2
．
A．①② B．①②③ C．③④ D．②③④
組卷：446引用：7難度：0.5
解析
4．（a+2b-3c）⁴的展開式中abc²的系數為（　　）
A．208 B．216 C．217 D．218
組卷：305引用：3難度：0.9
解析
5．已知F₁，F₂是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且∠F₁PF₂=
π
2
，記橢圓和雙曲線的離心率分別為e₁，e₂，則
1
e
1
2
+
1
e
2
2
的值為（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
組卷：656引用：3難度：0.5
解析
6．設函數
f
（
x
）
=
（
5
4
）
|
x
|
+
x
2
，若
a
=
f
（
ln
1
3
）
，
b
=
f
（
lo
g
7
1
3
）
，c=f（3^1.2），則（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜a＜c
組卷：312引用：3難度：0.5
解析
7．將函數
f
（
x
）
=
si
n
2
（
5
π
12
-
x
）
-
si
n
2
（
x
+
π
12
）
的圖象向左平移φ（φ＞0）個單位長度后，得到函數g（x）的圖象，若g（x）滿足
g
（
π
6
-
x
）
=
g
（
π
6
+
x
）
，則φ的可能值為（　　）
A．
-
π
4
B．
π
4
C．
2
π
3
D．
3
π
4
組卷：99引用：3難度：0.6
解析

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四、解答題（17題10分，其余每題12分，共70分）

21．已知函數f（x）=log₂
3
x
-
1
3
x
+
1
，（x∈（-∞，-
1
3
）∪（
1
3
，+∞））
（1）判斷函數f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）判斷函數f（x）在區間（
1
3
，+∞）上的單調性．
組卷：31引用：3難度：0.3
解析
22．已知數列{a_n}為等差數列，a₁=1，a₃=2
2
+1，前n項和為S_n，數列{b_n}}滿足b_n=
S
n
n
．
求證：
（1）數列{b_n}為等差數列；
（2）數列{a_n}中的任意三項均不能構成等比數列．
組卷：326引用：3難度：0.6
解析

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2023-2024學年遼寧省實驗中學高三（上）適應性數學試卷（一）

一、單選題（每題只有一個選項是正確答案，每題5分，共40分）

1．已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，點M在雙曲線的右支上，點N為F2M的中點，O為坐標原點，|ON|-|NF2|=2b,∠ONF2=60°，△F1MF2的面積為23，則該雙曲線的方程為（ ）

4．（a+2b-3c）4的展開式中abc2的系數為（ ）

5．已知F1，F2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且∠F1PF2=π2，記橢圓和雙曲線的離心率分別為e1，e2，則1e12+1e22的值為（ ）

6．設函數f（x）=（54）|x|+x2，若a=f（ln13），b=f（log713），c=f（31.2），則（ ）

7．將函數f（x）=sin2（5π12-x）-sin2（x+π12）的圖象向左平移φ（φ＞0）個單位長度后，得到函數g（x）的圖象，若g（x）滿足g（π6-x）=g（π6+x），則φ的可能值為（ ）

四、解答題（17題10分，其余每題12分，共70分）

21．已知函數f（x）=log23x-13x+1，（x∈（-∞，-13）∪（13，+∞））（1）判斷函數f（x）的奇偶性，并說明理由；（2）判斷函數f（x）在區間（13，+∞）上的單調性．

22．已知數列{an}為等差數列，a1=1，a3=22+1，前n項和為Sn，數列{bn}}滿足bn=Snn．求證：（1）數列{bn}為等差數列；（2）數列{an}中的任意三項均不能構成等比數列．

1．已知雙曲線
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂，點M在雙曲線的右支上，點N為F₂M的中點，O為坐標原點，|ON|-|NF₂|=2b,∠ONF₂=60°，△F₁MF₂的面積為2
3
，則該雙曲線的方程為（　　）

4．（a+2b-3c）⁴的展開式中abc²的系數為（　　）

5．已知F₁，F₂是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且∠F₁PF₂=
π
2
，記橢圓和雙曲線的離心率分別為e₁，e₂，則
1
e
1
2
+
1
e
2
2
的值為（　　）

6．設函數
f
（
x
）
=
（
5
4
）
|
x
|
+
x
2
，若
a
=
f
（
ln
1
3
）
，
b
=
f
（
lo
g
7
1
3
）
，c=f（3^1.2），則（　　）

7．將函數
f
（
x
）
=
si
n
2
（
5
π
12
-
x
）
-
si
n
2
（
x
+
π
12
）
的圖象向左平移φ（φ＞0）個單位長度后，得到函數g（x）的圖象，若g（x）滿足
g
（
π
6
-
x
）
=
g
（
π
6
+
x
）
，則φ的可能值為（　　）

21．已知函數f（x）=log₂
3
x
-
1
3
x
+
1
，（x∈（-∞，-
1
3
）∪（
1
3
，+∞））
（1）判斷函數f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）判斷函數f（x）在區間（
1
3
，+∞）上的單調性．

22．已知數列{a_n}為等差數列，a₁=1，a₃=2
2
+1，前n項和為S_n，數列{b_n}}滿足b_n=
S
n
n
．
求證：
（1）數列{b_n}為等差數列；
（2）數列{a_n}中的任意三項均不能構成等比數列．