2023-2024學年吉林省長春市東北師大附中高二（上）期中數學試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題4分，共32分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．

• 1．直線

  3

  x-y+1=0的傾斜角為（　　）

  A． π 6

  B． π 3

  C． 2 π 3

  D． 5 π 6
  組卷：1924引用：47難度：0.9

  解析

• 2．下列結論正確的是（　　）

  A．事件A的概率P（A）的值滿足0＜P（A）＜1

  B．若P（A）=0.999，則A為必然事件

  C．一批燈泡的合格率是99%，從這批燈泡中任取一個，是合格品的可能性是99%

  D．若P（A）=0.001，則A為不可能事件
  組卷：83引用：1難度：0.7

  解析

• 3．經過點（-1，2）并且與直線2x+y-1=0垂直的直線方程是（　　）

  A．x-2y+5=0

  B．x-2y+3=0

  C．x+2y-3=0

  D．x+2y+5=0
  組卷：103引用：5難度：0.5

  解析

• 4．已知事件A，B，C兩兩互斥，若

  P

  （

  A

  ）

  =

  1

  5

  ，

  P

  （

  C

  ）

  =

  1

  3

  ，

  P

  （

  A

  ∪

  B

  ）

  =

  8

  15

  ，則P（B∪C）=（　　）

  A． 8 15

  B． 2 3

  C． 7 15

  D． 1 3
  組卷：176引用：3難度：0.9

  解析

• 5．圓心在x軸上，并且過點A（-1，3）和B（1，1）的圓的標準方程是（　　）

  A．（x+4）2+y2=18	B．（x+3）2+y2=10
  C．（x-2）2+y2=10	D．（x+2）2+y2=10
  組卷：148引用：5難度：0.7

  解析

• 6．若a是從0，1，2，3四個數中任取的一個數，b是從0，1，2三個數中任取的一個數，則關于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0有實根的概率是（　　）

  A． 5 6

  B． 3 4

  C． 2 3

  D． 4 5
  組卷：82引用：3難度：0.8

  解析

• 7．在棱長為1的正四面體S-ABC中，SG⊥平面ABC于G，O是SG的中點，則下列結論錯誤的是（　　）

  A． OA ? OB = 0	B． SA ? OC = - 1 6
  C． OA ? OS = - 1 6	D． OG = 1 3 （ OA + OB + OC ）
  組卷：64引用：1難度：0.6

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四、解答題：本大題共6小題，共56分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

• 21．已知直線l：（2λ+1）x+（λ+1）y-7λ-4=0（λ∈R）和以點C為圓心的圓（x-4）²+y²=4．
  （1）求證：直線l恒過定點；
  （2）當直線l被圓C截得的弦長最短時，求λ的值以及最短弦長；
  （3）設l恒過定點A，點P滿足

  |

  PA

  |

  |

  PO

  |

  =

  2

  ，記以點P、O（坐標原點）、A、C為頂點的四邊形為Γ，求四邊形Γ面積的最大值，并求取得最大值時點P的坐標．
  組卷：80引用：6難度：0.5

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• 22．如圖，四面體ABCD中，AD=CD，AD⊥CD，AC=2，AB=3，∠CAB=

  π

  3

  ，E為AB上的點，且AC⊥DE，DE與平面ABC所成角為

  π

  6

  ．
  （1）求三棱錐D-BCE的體積；
  （2）求平面BCD與平面CDE夾角的余弦值．
  組卷：56引用：1難度：0.3

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