2022-2023學年河北省示范性高中高三（上）第一次調研數學試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

• 1．設集合

  A

  =

  {

  x

  ∈

  Z

  |

  y

  =

  4

  -

  x

  2

  }

  ，

  B

  =

  {

  x

  |

  -

  2

  ＜

  x

  ＜

  4

  }

  ，則集合A∩B=（　　）

  A．{-2，-1，0，1，2}	B．{-2，-1，1，2}
  C．{-1，0，1，2}	D．{0，1，2}
  組卷：79引用：4難度：0.8

  解析

• 2．若復數

  a

  +

  bi

  4

  +

  3

  i

  （i為虛數單位，a,b∈R且b≠0）為純虛數，則

  a

  b

  =（　　）

  A． 4 3

  B． - 4 3

  C． 3 4

  D． - 3 4
  組卷：430引用：12難度：0.9

  解析

• 3．“λ=3”是“直線（2λ-3）x+（λ+1）y+3=0與直線（λ+1）x-λy+3=0互相垂直”的（　　）

  A．充分不必要條件	B．充要條件
  C．必要不充分條件	D．既不充分也不必要條件
  組卷：338引用：9難度：0.8

  解析

• 4．已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，若a₁=2，且S₃=S₁₉，則S₂₁=（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  組卷：398引用：6難度：0.8

  解析

• 5．關于二項式（1+ax+x²）（1-x）⁸，若展開式中含x²的項的系數為21，則a=（　　）

  A．3

  B．2

  C．1

  D．-1
  組卷：414引用：5難度：0.7

  解析

• 6．已知某圓錐的母線長為2，記其側面積為S，體積為V，則當

  V

  S

  取得最大值時，母線與底面所成角的正弦值為（　　）

  A． 2 2

  B． 3 2

  C． 1 2

  D． 3 4
  組卷：318引用：7難度：0.6

  解析

• 7．阿基米德是古希臘著名的數學家、物理學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率π等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．已知橢圓

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的右焦點為F（3，0），過F作直線l交橢圓于A、B兩點，若弦AB中點坐標為（2，-1），則橢圓的面積為（　　）

  A． 36 2 π

  B． 18 2 π

  C． 9 2 π

  D． 6 2 π
  組卷：719引用：17難度：0.5

  解析

四、解答題：本題共6小題，第17題10分，第18～22題每題12分，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

• 21．已知圓A：x²+y²+6x+5=0，直線l（與x軸不重合）過點B（3，0）交圓A于C、D兩點，過點B作直線AC的平行線交直線DA于點E．
  （1）證明：||EB|-|EA||為定值，并求點E的軌跡方程；
  （2）設點E的軌跡方程為C₁，直線l與曲線C₁交于M、N兩點，線段MN的垂直平分線交x軸于點P，是否存在實常數λ，使得|MN|=λ|PB|，若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．
  組卷：91引用：3難度：0.2

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• 22．已知函數f（x）=e^x-1-x-ax²．
  （1）若x＞0時，恒有f（x）＞0，求a的取值范圍；
  （2）證明：當x＞1時，e^x（1+lnx）＞ex²．
  組卷：360引用：4難度：0.6

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