2021-2022學年江蘇省無錫市宜興市高二（上）第一次月考數學試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

• 1．設直線l：x+2y-1=0的傾斜角為α，則（　　）

  A．0＜α＜ π 4

  B． π 4 ＜α＜ π 2

  C． π 2 ＜α＜ 3 π 4

  D． 3 π 4 ＜α＜π
  組卷：54引用：2難度：0.7

  解析

• 2．在下列命題中：
  ①若向量

  a

  ，

  b

  共線，則向量

  a

  ，

  b

  所在的直線平行；
  ②若向量

  a

  ，

  b

  所在的直線為異面直線，則向量

  a

  ，

  b

  一定不共面；
  ③若三個向量

  a

  ，

  b

  ，

  c

  兩兩共面，則向量

  a

  ，

  b

  ，

  c

  共面；
  ④已知是空間的三個向量

  a

  ，

  b

  ，

  c

  ，則對于空間的任意一個向量

  p

  總存在實數x,y,z使得

  p

  =

  x

  a

  +

  y

  b

  +

  z

  c

  ；
  其中正確的命題的個數是（　　）

  A．0

  B．1

  C．2

  D．3
  組卷：333引用：25難度：0.9

  解析

• 3．如圖，已知DE是正△ABC的中位線，沿AD將△ABC折成直二面角B-AD-C，則翻折后異面直線AB與DE所成角的余弦值為（　　）

  A． 3 4

  B． 2 3

  C． 1 2

  D．0
  組卷：281引用：5難度：0.9

  解析

• 4．已知A（1，0，0），B（0，-1，1），O是坐標原點，

  OA

  +

  λ

  OB

  與

  OB

  的夾角為120°，則λ的值為（　　）

  A．± 6 6

  B． 6 6

  C．- 6 6

  D．± 6
  組卷：1836引用：9難度：0.7

  解析

• 5．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC₁與B₁C相交于點O，∠A₁AB=∠A₁AC=∠BAC=60°，A₁A=3，AB=AC=2，則線段AO的長度為（　　）

  A． 33 2

  B． 29 2

  C． 5 2

  D． 23 2
  組卷：184引用：10難度：0.5

  解析

• 6．過點（1，3）作直線l,若l過點（a,0）與（0，b），且a,b∈N^*，則可作出的直線l的條數為（　　）

  A．1條

  B．2條

  C．3條

  D．多于3條
  組卷：55引用：3難度：0.9

  解析

• 7．在空間直角坐標系Oxyz中，經過點P（x₀，y₀，z₀）且法向量為

  m

  =

  （

  a

  ,

  b

  ,

  c

  ）

  的平面方程為a（x-x₀）+b（y-y₀）+c（z-z₀）=0，經過點P（x₀，y₀，z₀）且一個方向向量為

  n

  =

  （

  μ

  ，

  v

  ,

  ω

  ）

  （μvω≠0）的直線l方程為

  x

  -

  x

  0

  μ

  =

  y

  -

  y

  0

  v

  =

  z

  -

  z

  0

  ω

  ．已知：在空間直角坐標系Oxyz中，P（0，0，1），經過點P的平面α的方程為x+y+2z-2=0，經過點P的直線l方程為

  x

  2

  =y=1-z,則直線l與平面α所成角的正弦值為（　　）

  A． 1 6

  B． 1 5

  C． 5 6

  D． 11 14
  組卷：86引用：4難度：0.6

  解析

四、解答題（共6小題，滿分70分）

• 21．如圖，四面體ABCD中，AD⊥CD，AD=CD，∠ADB=∠BDC，E為AC的中點．
  （1）證明：平面BED⊥平面ACD；
  （2）設AB=BD=2，∠ACB=60°，點F在BD上，當△AFC的面積最小時，求CF與平面ABD所成的角的正弦值．
  組卷：7660引用：14難度：0.5

  解析

• 22．如圖，C是以AB為直徑的圓O上異于A，B的點，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F分別是PC，PB的中點，記平面AEF與平面ABC的交線為直線l.
  （Ⅰ）求證：直線l⊥平面PAC；
  （Ⅱ）直線l上是否存在點Q，使直線PQ分別與平面AEF、直線EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，請說明理由．
  組卷：1154引用：17難度：0.1

  解析