2011年上海市梅山高中九年級數學競賽試卷

一、填空題（每題5分，共50分）

• 1．兩個相似多邊形面積之比為1：16，周長之差為9，則較小多邊形周長為

  ．
  組卷：64引用：2難度：0.9

  解析

• 2．△ABC內接于圓O，且AB=AC，圓O的半徑等于6cm,O點到BC距離等于2cm,則AB長為

  cm.
  組卷：659引用：3難度：0.9

  解析

• 3．如圖所示，AB是半圓的直徑，∠C的兩邊分別與半圓相切于A、D兩點，DE⊥AB，垂足為E，AE=3，BE=1，則圖中陰影部分的面積為

   

  ．
  組卷：82引用：2難度：0.7

  解析

• 4．編制一個底面周長為a、高為b的圓柱形花柱架，需用沿圓柱表面繞織一周的竹條若干根，如圖中的A₁C₁B₁，A₂C₂B₂，…則每一根這樣的竹條的長度最少是

   

  ．
  組卷：366引用：26難度：0.7

  解析

• 5．如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A，B兩點，則|OA|?|OB|=

   

  ．
  組卷：93引用：1難度：0.7

  解析

二、解答題（共70分）

• 15．在邊長為6的菱形ABCD中，動點M從點A出發，沿A?B?C向終點C運動，連接DM交AC于點N．
  
  （1）如圖1，當點M在AB邊上時，連接BN：
  ①求證：△ABN≌△ADN；
  ②若∠ABC=60°，AM=4，∠ABN=α，求點M到AD的距離及tanα的值．
  （2）如圖2，若∠ABC=90°，記點M運動所經過的路程為x（6≤x≤12）．試問：x為何值時，△ADN為等腰三角形．
  組卷：1163引用：58難度：0.1

  解析

• 16．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，其頂點的橫坐標為1，且過點（2，3）和（-3，-12）．
  （1）求此二次函數的表達式；
  （2）若點P是位于該二次函數對稱軸右邊圖象上不與頂點重合的任意一點，若銳角∠PCO=∠ACO，寫出此時點P的坐標；
  （3）若直線l：y=kx（k≠0）與線段BC交于點D（不與點B，C重合），則是否存在這樣的直線l,使得以B，O，D為頂點的三角形與△BAC相似？若存在，求出該直線的函數表達式及點D的坐標；若不存在，請說明理由．
  組卷：586引用：1難度：0.1

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