2022-2023學年福建省廈門一中高二（下）期末數學試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

• 1．定義

  a	b
  c	d

  =

  ad

  -

  bc

  ，已知數列{a_n}為等比數列，且a₃=1，

  a 6	8
  8	a 8

  =

  0

  ，則a₇=（　?。?/h2>

  A．4

  B．±4

  C．8

  D．±8
  組卷：187難度：0.7

  解析

• 2．已知F為拋物線C：y²=4x的焦點，A為C上的一點，AF中點的橫坐標為2，則|AF|=（　?。?/h2>

  A．3

  B．4

  C．5

  D．6
  組卷：150引用：3難度：0.7

  解析

• 3．某市教育局為了給高考生減壓，將師范大學6名心理學教授全部分配到市屬四所重點高中進行心理輔導，若A高中恰好需要1名心理學教授，B，C，D三所高中各至少需要1名心理學教授，則不同的分配方案有（　?。?/h2>

  A．150種

  B．540種

  C．900種

  D．1440種
  組卷：196引用：5難度：0.6

  解析

• 4．3月15日是國際消費者權益日．中央電視臺特地推出3.15公益晚會，曝光了食品、醫美、直播等多領域亂象，在很大程度上震懾了一些不良商家，也增強了消費者的維權意識．一名市民在某商店買了一只燈泡，結果用了兩個月就壞了，他撥打了12315投訴電話．通過調查，發現該商店將一些不合格燈泡混入一批合格燈泡中以次充好賣給顧客．假設合格燈泡在使用1000小時后損壞的概率為0.004，不合格燈泡在使用1000小時后損壞的概率為0.4，若混入的不合格燈泡數占燈泡總數的25%，現一顧客在該商店買一只燈泡，則該燈泡在使用1000小時后不會損壞的概率為（　　）

  A．0.103

  B．0.301

  C．0.897

  D．0.699
  組卷：79引用：4難度：0.7

  解析

• 5．我們將服從二項分布的隨機變量稱為二項隨機變量，服從正態分布的隨機變量稱為正態隨機變量．概率論中有一個重要的結論是棣莫弗一拉普拉斯極限定理，它表明，若隨機變量Y～B（n,p），當n充分大時，二項隨機變量Y可以由正態隨機變量X來近似，且正態隨機變量X的期望和方差與二項隨機變量Y的期望和方差相同．棣莫弗在1733年證明了

  p

  =

  1

  2

  的特殊情形，1812年，拉普拉斯對一般的p進行了證明．現拋擲一枚質地均勻的硬幣100次，則利用正態分布近似估算硬幣正面向上次數超過60次的概率為（　?。?br />（附：若X～N（μ，σ²），則P（μ-σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973）

  A．0.1587

  B．0.0228

  C．0.0027

  D．0.0014
  組卷：361難度：0.8

  解析

• 6．已知菱形ABCD的邊長為3，對角線BD長為5，將△ABD沿著對角線BD翻折至△A'BD，使得線段A'C長為3，則異面直線A'B與CD所成角的余弦值為（　?。?/h2>

  A． 3 4

  B． 5 4

  C． 4 9

  D． 8 9
  組卷：262難度：0.5

  解析

• 7．某高二學生在參加物理、歷史反向學考中，成績是否取得A等級相互獨立，記X為“該學生取得A等級的學考科目數”，其分布列如下表所示，則D（X）的最大值是（　　）
  

  X	0	1	2
  P	a	b	1 9

  A． 32 81

  B． 4 9

  C． 17 36

  D． 47 81
  組卷：111引用：2難度：0.5

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四、解答題：共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

• 21．某種疾病可分為Ⅰ、Ⅱ兩種類型．為了解該疾病類型與性別的關系，在某地區隨機抽取了患該疾病的病人進行調查，其中女性是男性的2倍，男性患Ⅰ型病的人數占男性病人的

  5

  6

  ，女性患Ⅰ型病的人數占女性病人的

  1

  3

  ．
  （1）若依據小概率值α=0.005的獨立性檢驗，認為“所患疾病類型”與“性別”有關，求男性患者至少有多少人？
  （2）某藥品研發公司欲安排甲乙兩個研發團隊來研發此疾病的治療藥物．兩個團隊各至多排2個接種周期進行試驗．甲團隊研發的藥物每次接種后產生抗體的概率為p（0＜p＜1），每人每次接種花費m（m＞0）元，每個周期至多接種3次，第一個周期連續2次出現抗體測終止本接種周期進入第二個接種周期，否則需依次接種至第一周期結束，再進入第二周期：第二接種周期連續2次出現抗體則終止試驗，否則依次接種至至試驗結束：乙團隊研發的藥物每次接種后產生抗體概率為q（0＜q＜1），每人每次花費n（n＞0）元，每個周期接種3次，每個周期必須完成3次接種，若一個周期內至少出現2次抗體，則該周期結束后終止試驗，否則進入第二個接種周期、假設兩個研發團隊每次接種后產生抗體與否均相互獨立．當

  n

  =

  2

  3

  m

  ，p=q時，從兩個團隊試驗的平均花費考慮，試證明該公司選擇乙團隊進行藥品研發的決策是正確的．
  參考公式：

  K

  2

  =

  n

  （

  ad

  -

  bc

  ）

  2

  （

  a

  +

  b

  ）

  （

  c

  +

  d

  ）

  （

  a

  +

  c

  ）

  （

  b

  +

  d

  ）

  （其中n=a+b+c+d為樣本容量）
  參考數據：已知函數
  

  α	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
  xα	2.706	3.841	6.635	7.897	10.828
  組卷：47難度：0.6

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• 22．已知函數f（x）=x³+klnx（k∈R），f′（x）為f（x）的導函數．
  （1）當k=6時，求函數

  g

  （

  x

  ）

  =

  f

  （

  x

  ）

  -

  f

  ′

  （

  x

  ）

  +

  9

  x

  的單調區間和極值；
  （2）當k≥-3時，求證：對任意的x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＞x₂，有

  f

  ′

  （

  x

  1

  ）

  +

  f

  ′

  （

  x

  2

  ）

  2

  ＞

  f

  （

  x

  1

  ）

  -

  f

  （

  x

  2

  ）

  x

  1

  -

  x

  2

  ．
  組卷：69引用：1難度：0.2

  解析