2020-2021學(xué)年江蘇省蘇州市常熟中學(xué)高一（下）月考數(shù)學(xué)試卷（3月份）

一、單項(xiàng)選擇題：（本題共8小題，每小題分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意要求的）

• 1．已知cosα+sin（α-

  π

  6

  ）=0，則tanα=（　　）

  A．- 3 3

  B． 3 3

  C．- 3

  D． 3
  組卷：218引用：2難度：0.7

  解析

• 2．已知向量

  a

  =

  （

  3

  ，

  1

  ）

  ，

  b

  是單位向量，若|

  a

  +

  b

  |=

  3

  ，則

  a

  與

  b

  的夾角為（　　）

  A． π 6

  B． π 3

  C． 2 π 3

  D． 5 π 6
  組卷：383引用：6難度：0.8

  解析

• 3．設(shè)

  a

  ，

  b

  不共線，

  AB

  =

  a

  +

  3

  b

  ，

  BC

  =

  a

  +

  2

  b

  ，

  CD

  =

  3

  a

  +

  m

  b

  ，若A，C，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)m的值是（　?。?/h2>

  A． 2 3

  B． 1 5

  C． 7 2

  D． 15 2
  組卷：833引用：4難度：0.8

  解析

• 4．已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a,b,c,若bsin（B+C）=2csinB，

  cos

  B

  =

  1

  4

  ，b=2，則△ABC的面積為（　?。?/h2>

  A． 15 2

  B． 9 15 16

  C． 15 4

  D． 7 4
  組卷：561引用：2難度：0.7

  解析

• 5．已知cos（

  π

  4

  -

  α

  ）=

  3

  5

  ，sin（

  π

  4

  +

  β

  ）=

  12

  13

  ，α∈（

  π

  4

  ，

  3

  π

  4

  ），β∈（0，

  π

  4

  ），則cos（α+β）=（　?。?/h2>

  A． 16 65

  B．- 56 65

  C． 63 65

  D．- 33 65
  組卷：176引用：4難度：0.7

  解析

• 6．筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用．明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車的工作原理（圖1所示）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，筒車轉(zhuǎn)輪的中心O到水面的距離h為1.5m,筒車的半徑r為2.5m,筒車轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω為

  π

  12

  rad

  /

  s

  ，如圖2所示，盛水桶M在P₀處距水面的距離為3m,則2s后盛水桶M到水面的距離近似為（　?。?br />

  A．3.2m

  B．3.4m

  C．3.6m

  D．3.8m
  組卷：34引用：3難度：0.5

  解析

• 7．在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,bsinA=acosB，b=2，c=

  6

  ，則角C為（　?。?/h2>

  A． 2 π 3

  B． 5 π 6

  C． π 6 或 5 π 6

  D． π 3 或 2 π 3
  組卷：642引用：3難度：0.6

  解析

四、解答題：（本題共6小題，共70分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

• 21．如圖，某自行車手從O點(diǎn)出發(fā)，沿折線O-A-B-O勻速騎行，其中點(diǎn)A位于點(diǎn)O南偏東45°且與點(diǎn)O相距20

  2

  千米．該車手于上午8點(diǎn)整到達(dá)點(diǎn)A，8點(diǎn)20分騎至點(diǎn)C，其中點(diǎn)C位于點(diǎn)O南偏東（45°-α）（其中sinα=

  1

  26

  ，0°＜α＜90°）且與點(diǎn)O相距5

  13

  千米（假設(shè)所有路面及觀測(cè)點(diǎn)都在同一水平面上）．
  （1）求該自行車手的騎行速度；
  （2）若點(diǎn)O正西方向27.5千米處有個(gè)氣象觀測(cè)站E，假定以點(diǎn)E為中心的3.5千米范圍內(nèi)有長(zhǎng)時(shí)間的持續(xù)強(qiáng)降雨．試問(wèn)：該自行車手會(huì)不會(huì)進(jìn)入降雨區(qū)，并說(shuō)明理由．
  組卷：217引用：4難度：0.3

  解析

• 22．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定義非零向量

  OM

  =

  （

  a

  ,

  b

  ）

  的“相伴函數(shù)”為f（x）=asinx+bcosx（x∈R），向量

  OM

  =

  （

  a

  ,

  b

  ）

  稱為函數(shù)f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”．記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為S．
  （1）設(shè)函數(shù)

  h

  （

  x

  ）

  =

  2

  sin

  （

  π

  3

  -

  x

  ）

  -

  cos

  （

  π

  6

  +

  x

  ）

  ，求證：h（x）∈S；
  （2）記

  OM

  =

  （

  0

  ，

  2

  ）

  的“相伴函數(shù)”為f（x），若函數(shù)

  g

  （

  x

  ）

  =

  f

  （

  x

  ）

  +

  2

  3

  |

  sinx

  |

  -

  1

  ，x∈[0，2π]與直線y=k有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
  （3）已知點(diǎn)M（a,b）滿足a^2-4ab+3b²＜0，向量

  OM

  的“相伴函數(shù)”f（x）在x=x₀處取得最大值．當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，求tan2x₀的取值范圍．
  組卷：86引用：3難度：0.3

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