2023-2024學年北京十三中高三（上）期中數學試卷

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．

• 1．已知集合A={-1，0，1，2}，集合B={x∈Z|x²≤2}，則A∩B=（　　）

  A．{1}

  B．{0，1}

  C．{-1，0，1}

  D．{-1，0，1，2}
  組卷：43引用：1難度：0.7

  解析

• 2．已知復數

  a

  +

  i

  1

  +

  3

  i

  ，

  a

  ∈

  R

  是純虛數，則在復平面中，復數z=a+i的共軛復數

  z

  對應的點坐標是（　　）

  A．（-3，-1）

  B．（-3，1）

  C．（1，-3）

  D．（1，3）
  組卷：65引用：3難度：0.7

  解析

• 3．已知向量

  a

  ，

  b

  滿足

  a

  +

  b

  =

  （

  2

  ，

  x

  ）

  ，

  a

  -

  b

  =

  （

  -

  2

  ，

  1

  ）

  ，且

  |

  a

  |

  2

  -

  |

  b

  |

  2

  =

  -

  1

  ，則x=（　　）

  A．-3

  B．3

  C．-1

  D．1
  組卷：86引用：2難度：0.7

  解析

• 4．已知函數f（x）=x²+ln|x|，則f（x）（　　）

  A．是奇函數，且在（0，+∞）上是減函數

  B．是奇函數，且在（0，+∞）上是增函數

  C．是偶函數，且在（0，+∞）上是減函數

  D．是偶函數，且在（0，+∞）上是增函數
  組卷：424引用：5難度：0.7

  解析

• 5．已知

  （

  2

  x

  +

  a

  x

  ）

  5

  的展開式中，x的系數為80，則a=（　　）

  A．-1

  B．±1

  C．±2

  D．2
  組卷：371引用：1難度：0.5

  解析

• 6．直線y=kx+2與圓（x-3）²+（y-2）²=4相交于M，N兩點，若

  |

  MN

  |

  ≥

  2

  3

  ，則k的取值范圍是（　　）

  A． [ - 2 4 ， 2 4 ]	B． （ - ∞ ，- 2 4 ] ∪ [ 2 4 ， + ∞ ）
  C． [ - 1 3 ， 1 3 ]	D． （ - ∞ ，- 1 3 ] ∪ [ 1 3 ， + ∞ ）
  組卷：93引用：1難度：0.6

  解析

• 7．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E是線段A₁C₁上任意一點，則sin∠AED的值不可能是（　　）

  A． 2 2

  B． 5 3

  C． 5 5

  D． 3 3
  組卷：56引用：3難度：0.5

  解析

三、解答題：本大題共6小題，共85分．

• 20．已知函數f（x）=x²-xsinx-cosx.
  （1）求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
  （2）求函數f（x）的零點個數；
  （3）若對于任意

  x

  ∈

  [

  0

  ，

  π

  2

  ]

  ，ax²-xsinx-cosx+a≥0恒成立，求a的取值范圍．
  組卷：165引用：1難度：0.2

  解析

• 21．已知有窮數列A：a₁，a₂，?，a_n（n≥3）中的每一項都是不大于n的正整數．對于滿足1≤m≤n的整數m,令集合A（m）={k|a_k=m,k=1，2，?，n}．記集合A（m）中元素的個數為s（m）（約定空集的元素個數為0）．
  （Ⅰ）若A：6，3，2，5，3，7，5，5，求A（5）及s（5）；
  （Ⅱ）若

  1

  s

  （

  a

  1

  ）

  +

  1

  s

  （

  a

  2

  ）

  +

  ?

  +

  1

  s

  （

  a

  n

  ）

  =

  n

  ，求證：a₁，a₂，?，a_n互不相同；
  （Ⅲ）已知a₁=a,a₂=b,若對任意的正整數i,j（i≠j,i+j≤n）都有i+j∈A（a_i）或i+j∈A（a_j），求a₁+a₂+?+a_n的值．
  組卷：405引用：8難度：0.5

  解析