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2023年湖南省長沙市長郡中學高考數學模擬試卷（二）

發布：2024/5/7 8:0:9

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1．已知集合A={x|x²＜2x}，集合B={x|log₂（x-1）＜1}，則A∩B=（　　）
A．{x|0＜x＜3} B．{x|1＜x＜2} C．{x|2≤x＜3} D．{x|0＜x＜2}
組卷：116引用：5難度：0.8
解析
2．設復數z滿足z?（1-i）=2+i,則
z
的虛部是（　　）
A．
3
2
B．3 C．
-
3
2
D．4
組卷：34引用：2難度：0.8
解析
3．設O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點，則取到的3點共線的概率為（　　）
A．
1
5
B．
2
5
C．
1
2
D．
4
5
組卷：3480引用：16難度：0.8
解析
4．蹴鞠（如圖所示），又名蹴球、蹴圓、筑球、踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內實米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動，類似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作為非物質文化遺產經國務院批準已列入第一批國家非物質文化遺產名錄．已知某鞠（球）的表面上有四個點A，B，C，P，AC=BC=4，PA=2，AC⊥BC，PA⊥平面ABC，則該鞠（球）的表面積為（　　）
A．49π B．64π C．36π D．16π
組卷：115引用：3難度：0.7
解析
5．如圖甲是第七屆國際數學家大會（簡稱ICME-7）的會徽圖案，會徽的主題圖案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的．已知OA₁=A₁A₂=A₂A₃=A₃A₄=A₄A₅=A₅A₆=A₆A₇=A₇A₈=?=2，A₁，A₂，A₃?為直角頂點，設這些直角三角形的周長從小到大組成的數列為{a_n}，令
b
n
=
2
a
n
-
2
，
S
n
為數列{b_n}的前n項和，則S₁₂₀=（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
組卷：134引用：5難度：0.6
解析
6．函數f（x）=2sin（ωx+
π
6
）（ω∈R）恒有f（x）≤f（2π），且f（x）在[-
π
6
，
π
3
]上單調遞增，則ω的值為（　　）
A．-
5
6
B．
1
6
C．
7
6
D．
1
6
或
7
6
組卷：368引用：3難度：0.6
解析
7．已知函數f（x）=（mx-1）e^x-x²，若不等式f（x）＜0的解集中恰有兩個不同的正整數解，則實數m的取值范圍（　　）
A．（
2
e
2
+
1
2
，
1
e
+1） B．[
2
e
2
+
1
2
，
1
e
+1）
C．[
3
e
3
+
1
3
，
2
e
2
+
1
2
） D．（
3
e
3
+
1
3
，
2
e
2
+
1
2
）
組卷：664引用：6難度：0.3
解析

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四、解答題（共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

21．人工智能（AI）是一門極富挑戰性的科學，自誕生以來，理論和技術日益成熟．某校成立了A，B兩個研究性小組，分別設計和開發不同的AI軟件用于識別音樂的類別．記兩個研究性小組的AI軟件每次能正確識別音樂類別的概率分別為P₁，P₂．為測試AI軟件的識別能力，計劃采取兩種測試方案．
方案一：將100首音樂隨機分配給A，B兩個小組識別，每首音樂只被一個AI軟件識別一次，并記錄結果；
方案二：對同一首歌，A，B兩組分別識別兩次，如果識別的正確次數之和不少于三次，則稱該次測試通過．
（1）若方案一的測試結果如下：正確識別的音樂數之和占總數的
3
5
；在正確識別的音樂數中，A組占
2
3
；在錯誤識別的音樂數中，B組占
1
2
．
（ⅰ）請根據以上數據填寫下面的2×2列聯表，并根據α=0.05的獨立性檢驗，能否認為識別音樂是否正確與兩種軟件類型有關？

正確識別錯誤識別合計

A組軟件

B組軟件

合計 100

（ⅱ）利用（ⅰ）中的數據，視頻率為概率，求方案二在一次測試中獲得通過的概率；
（2）研究性小組為了驗證AI軟件的有效性，需多次執行方案二，假設
P
1
+
P
2
=
4
3
，問該測試至少要進行多少次，才能使通過次數的期望值為16？并求此時P₁，P₂的值．附：
χ
2
=
n
（
ad
-
bc
）
2
（
a
+
b
）
（
c
+
d
）
（
a
+
c
）
（
b
+
d
）
，其中n=a+b+c+d.

α 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001

x_α 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828

組卷：92引用：4難度：0.5

解析

22．已知函數f（x）=（cosx-1）e^-x，g（x）=ax²+（1-e^x）x（a∈R）．
（1）當x∈（0，π）時，求函數f（x）的最小值；
（2）當
x
∈
[
-
π
2
，
+
∞
）
時，不等式
xf
（
x
）
≥
g
（
x
）
e
x
恒成立，求實數a的取值范圍．
組卷：221引用：4難度：0.4
解析