2023-2024學年北京理工大學附中高二（上）期中數學試卷

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.

• 1．如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖是邊長為2的正方形，則原圖形的周長是（　　）

  A．16

  B．12

  C． 4 + 8 2

  D． 4 + 4 2
  組卷：406引用：11難度：0.9

  解析

• 2．已知m,n為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（　　）

  A．m?α，n?α，m∥β，n∥β?α∥β	B．n∥m,n⊥α?m⊥α
  C．m⊥α，m⊥n?n∥α	D．α∥β，m?α，n?β?m∥n
  組卷：479引用：10難度：0.6

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• 3．如圖所示，圓柱與圓錐的組合體，已知圓錐部分的高為

  1

  2

  ，圓柱部分的高為2，底面圓的半徑為1，則該組合體的體積為（　　）

  A． π 3

  B．2π

  C． 13 π 6

  D． 5 π 2
  組卷：191引用：5難度：0.7

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• 4．已知

  a

  ，

  b

  ，

  c

  是不共面的三個向量，則能構成空間的一個基底的一組向量是（　　）

  A．3 a ， a - b ， a +2 b	B．2 b ， b -2 a ， b +2 a
  C． a ，2 b ， b - c	D． c ， a + c ， a - c
  組卷：510引用：19難度：0.7

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• 5．已知x,y∈R，向量

  a

  =

  （

  x

  ,

  1

  ，

  1

  ）

  ，

  b

  =

  （

  1

  ，

  y

  ,

  1

  ）

  ，

  c

  =

  （

  3

  ，-

  6

  ，

  3

  ）

  ，且

  a

  ⊥

  c

  ，

  b

  ∥

  c

  ，則

  |

  a

  +

  b

  |

  =（　　）

  A． 2 2

  B． 2 3

  C．4

  D．3
  組卷：587引用：25難度：0.7

  解析

• 6．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直線AB₁與平面ACC₁A₁所成的角為（　　）

  A．30°

  B．45°

  C．60°

  D．90°
  組卷：186引用：3難度：0.5

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三、解答題共4小題，共40分.解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

• 18．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=CC₁，M為AB的中點，D在A₁B₁上且A₁D=3DB₁．
  （1）求證：平面CMD⊥平面ABB₁A₁；
  （2）求直線CM與平面CBD所成角的正弦值；
  （3）求二面角B-CD-M的余弦值．
  組卷：106引用：2難度：0.4

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• 19．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，且AB=2，∠ABC=2∠BAD，∠PDC=

  π

  2

  ，點M為棱DP的中點．
  （1）在棱BC上是否存在一點N，使得CM∥平面PAN，并說明理由；
  （2）若PB⊥AC，二面角B-CM-D的余弦值為

  6

  6

  時，求點A到平面BCM的距離．
  組卷：193引用：7難度：0.5

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