2023-2024學年吉林省長春二中高三（上）第一次調研數學試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

• 1．已知集合A={y|y=2^x-1，x∈R}，B={x|x²-x-2＜0}，則（　　）

  A．-1∈A

  B． 3 ?B

  C．A∩（?RB）=A

  D．A∪B=A
  組卷：61引用：7難度：0.9

  解析

• 2．命題“?x∈[1，2]，x²-a≤0”為真命題的一個必要不充分條件是（　　）

  A．a≥1

  B．a≥2

  C．a≥0

  D．a≤0
  組卷：43引用：6難度：0.7

  解析

• 3．若a＞1，設函數f（x）=a^x+x-4的零點為m,g（x）=log_ax+x-4的零點為n,則

  1

  m

  +

  1

  n

  的取值范圍是（　　）

  A． （ 7 2 ， + ∞ ）

  B．[1，+∞）

  C．（4，+∞）

  D． （ 9 2 ， + ∞ ）
  組卷：293引用：28難度：0.9

  解析

• 4．已知奇函數f（x+3）的定義域為R，若f（x+2）=-f（x），則f（2019）=（　　）

  A．-2

  B．-1

  C．0

  D．3
  組卷：46引用：3難度：0.7

  解析

• 5．在如今這個5G時代，6G研究已方興未艾．2021年8月30日第九屆未來信息通信技術國際研討會在北京舉辦．會上傳出消息，未來6G速率有望達到1Tbps,并啟用毫米波、太赫茲、可見光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立體網絡，預計6G數據傳輸速率有望比5G快100倍，時延達到亞毫秒級水平．香農公式C=Wlog₂（1+

  S

  N

  ）是被廣泛公認的通信理論基礎和研究依據，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞率C取決于信道帶寬W、信道內信號的平均功率S、信道內部的高斯噪聲功率N的大小，其中

  S

  N

  叫做信噪比．若不改變帶寬W．而將信噪比

  S

  N

  從9提升至161，則最大信息傳遞率C會提升到原來的（　　）
  參考數據：log₂3=1.58，log₂5=2.32．

  A．2.4倍

  B．2.3倍

  C．2.2倍

  D．2.1倍
  組卷：251引用：8難度：0.5

  解析

• 6．若存在正實數y,使得

  y

  -

  x

  xy

  =

  5

  x

  +

  4

  y

  ，則實數x的最大值為（　　）

  A． 1 5

  B． 5 4

  C．1

  D．4
  組卷：253引用：3難度：0.6

  解析

• 7．對于函數y=f（x）（x∈I），y=g（x）（x∈I），若對于任意x∈I，存在x₀，使得f（x）≥f（x₀），g（x）≥g（x₀）且f（x₀）=g（x₀），則稱f（x），g（x）為“兄弟函數”．已知函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  2

  +

  px

  +

  q

  （

  p

  ,

  q

  ∈

  R

  ）

  ，

  g

  （

  x

  ）

  =

  x

  2

  -

  x

  +

  1

  x

  是定義在區間

  x

  ∈

  [

  1

  2

  ，

  2

  ]

  上的“兄弟函數”，那么函數f（x）在區間

  x

  ∈

  [

  1

  2

  ，

  2

  ]

  上的最大值為（　　）

  A． 3 2

  B．2

  C．4

  D． 5 4
  組卷：351引用：15難度：0.7

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

• 21．已知函數f（x）=

  lnx

  +

  1

  x

  +a（x-1）．
  （1）若f（x）在區間（0，+∞）上單調遞增，求實數a的取值范圍；
  （2）若實數x₁，x₂是方程f′（x）=0的兩個不等實根，證明：x₁x₂＞e.
  組卷：204引用：2難度：0.1

  解析

• 22．已知函數f（x）=axlnx-x（a∈R）．
  （1）若

  x

  ∈

  （

  0

  ，

  1

  2

  ]

  ，f（x）≥-1，求a的取值范圍；
  （2）當a=1時，記函數g（x）=ln（x+1）-f（x）的最大值為M，證明：M＜2．
  組卷：63引用：4難度：0.4

  解析